Algebra lineare e geometria analitica/Concetti di base e notazioni: differenze tra le versioni
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Il complementare di un insieme <math>X</math> all'interno di un insieme <math>Y</math> verrà indicato equivalentemento con <math>X^C</math> o con <math>Y \setminus X</math>.
Una funzione tra due insiemi è un'applicazione che associa ad ogni elemento del primo insieme (detto ''dominio'') un unico elemento del secondo insieme (''detto codominio''). La notazione <math>f: A \to B</math> sottointenderà che <math>f</math> è una funzione con dominio <math>A</math> e codominio <math>B</math>, e la notazione <math>a \mapsto b</math> sottointenderà che la funzione <math>f</math> è tale che <math>f(a)=b</math> ( si dirà che <math>b</math> è l'''immagine'' di <math>a</math> tramite <math>f</math>).
La notazione <math>:=</math> starà ad indicare una definizione del termine a sinistra del simbolo attraverso il simbolo di destra. Ovvero <math>A:=B</math> significa che definiamo l'oggetto <math>A</math> attraverso l'oggetto <math>B</math>
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====Gruppo====
La base del concetto di gruppo è un insieme su cui sia definita una operazione interna all'insieme con delle proprietà specifiche.
Consideriamo un insieme <math>A</math>. Un '''operazione''' su un insieme <math>A</math> è una funzione <math>\star: A \times A \to A</math>. In questo caso si indica generalmente l'immagine come <math>a_1 \star a_2 := \star(a_1,a_2)</math>.
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">'''Definizione'''
Un '''gruppo''' è una coppia <math>(A,\star)</math> dove <math>A</math> è un insieme e <math>\star</math> è un'operazione su <math>A</math> che verifiche le seguenti proprietà:
#<math>\star</math> è associativa, cioè <math>\forall a,b,c \in A</math> vale che <math>(a\star b)\star c = a \star (b\star c)</math>;
#esiste un elemento in <math>A</math> detto '''elemento neutro''' che si indica con <math>1_A</math> (a volte anche con <math>0_A</math>) tale che <math>\forall a \in A</math> vale che <math>a \star 1_A = 1_A \star a = a</math>;
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