Algebra lineare e geometria analitica/Spazi vettoriali: differenze tra le versioni

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XIX secolo e i vettori
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In questa prima parte si descriveranno gli '''spazi vettoriali''' e, per farlo in maniera precisa e dettagliata, verranno innanzitutto richiamati alcuni concetti algebrici di base, nonchè alcune proprietà elementari di insiemi e numeri reali. Si passerà in seguito ad un analisi delle matrici e delle loro proprietà, concetti motivati dallo studio dei sistemi lineari. infine si affronterà la formalizzazione del concetto di Spazio vettoriale e della sua ricca struttura.
 
==Introduzione storica==
===Dagli Elementi a Cartesio===
L'inizio della geometria come scienza rigorosa e precisa si può far risalire in maniera netta al corpus di tomi scritti da Euclide e denominati '''[[w:Elementi (Euclide)|Elementi]]'''. In questi scritti, per la prima volta, si cercava di fondare tutta la teoria e i risultati geometrici noti al tempo su degli assiomi e postulati "naturali" e su deduzioni logiche e razionali che discendevano esclusivamente da queste nozioni. In effetti è ormai noto come molte delle proposizioni e dei teoremi dimostrati dal matematico di Alessandria non discendano unicamente dai suoi assiomi e dai suoi postulati. Tuttavia è fuori dubbio come l'influenza che gli Elementi hanno avuto sul pensiero geometrico, e più in generale matematico, sia stata imponente e fondamentale.
 
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In particolare, il vantaggio più grande che una tale nuova metodologia possedeva, era la possibilità di definire delle operazioni tra gli enti geometrici, e caratterizzare in modo algebrico e analitico i concetti di retta, conica, tangente ecc. Da quel momento in poi una retta sarebbe stata identificata da un polinomio di primo grado in due indeterminate i cui zeri erano appunto i punti che formavano una retta, una conica da un polinomio di secondo grado, e via di seguito. Per circa duecento anni questa trattazione portò a risultati importanti a tutte le discipline maggiori, restando il principale mezzo di studio della geometria.
 
===Il diciannovesimo secolo e i vettori===
All'inizo del 1800 serpeggiava nel mondo matematico una certa "scontentezza" riguardo al sistema analitico introdotto da Cartesio. Molti matematici cercavano una via prinicpalmente geometrica, e in particolare libera dal concetto di coordinata, per studiare le forme. In particolare cominciavano a nascere i germi del concetto di '''vettore'''. In seguito saremo più dettagliati e precisi riguardo questo concetto, ma in questa sezione, renderemo conto dell'innovazione che questo nuovo concetto ha portato nel mondo geometrico, nonchè in quello matematico e fisico.