Algebra lineare e geometria analitica/Concetti di base e notazioni: differenze tra le versioni

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==Concetti di base e notazioni==
Verranno ora elencate tutte le convenzioni di notazione e i basilari concetti matematici fondamentali per tutta la trattazione successiva. Se il lettore si sente già padrone delle seguenti definizioni e notazioni può passare direttamente al paragrafo successivo.
 
===Insiemi e funzioni===
I simboli <math>\forall, \exists</math> indicano i quantificatori logici di base ovvero ''per ogni'' ed ''esiste''.
 
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La notazione <math>:=</math> starà ad indicare una definizione del termine a sinistra del simbolo attraverso il simbolo di destra. Ovvero <math>A:=B</math> significa che definiamo l'oggetto <math>A</math> attraverso l'oggetto <math>B</math>
 
 
Gli insiemi numerici verranno indicati con i classici simboli <math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> rispettivamente per i numeri naturali, interi, razionali, reali e complessi.
 
===Strutture algebriche fondamentali===
Per poter affrontare i concetti di spazio vettoriale e molte delle sue proprietà è necessario essere in possesso di alcune definizioni di base di teoria dei gruppi e dei campi.
Per struttura intendiamo un insieme su cui sia definita un'ulteriore relazione o operazione chiusa rispetto all'insieme, nel senso che applicata ad elementi dell'insieme risulti ancora definito il suo "risultato" come un elemento dello stesso insieme. La struttura più semplice che incontreremo ora è quella di '''Gruppo'''.
 
====Gruppo====
La base del concetto di gruppo è un insieme su cui sia definita una operazione interna all'insieme con delle proprietà specifiche.
Consideriamo un insieme <math>A</math>. Un operazione su un insieme <math>A</math> è una funzione <math>\star: A \times A \to A</math>. In questo caso si indica generalmente l'immagine come <math>a_1 \star a_2 := \star(a_1,a_2)</math>.
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Negli esempi sopra considerati l'operazione sull'insieme verifica anche un altra proprietà aggiuntiva: la commutatività. È sempre vero infatti che <math>x + y = y + x</math> per ogni numero intero. Non tutti i gruppi verificano questa proprietà, anche se per ora non siamo in grado di mostravene un esempio. I gruppi la cui operazioni è commutativa si chiamano gruppi commutativi o '''abeliani'''.
 
====Campo====
 
===Campo===
 
Il passo successivo rispetto alla struttura di gruppo è quello di considerare insiemi su cui siano definite più operazioni. Come idea tenete presente i numeri razionali su cui è definita sia la somma che il prodotto. In questo caso potremmo avere che l'insieme è un gruppo rispetto a tutte e due le operazioni (o quasi): se le due operazioni si "comportano bene" l'una rispetto all'altra si parlerà di campo. Vale infatti la seguente definizione:
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*<math>(\mathbb{Z},+, \cdot)</math> non è un campo, perchè non esiste un inverso per il prodotto di alcun numero intero diverso da <math>1, -1</math>.
 
[[Categoria:Geometria|Concetti di base e notazioni]]
 
{{Avanzamento|0025%|20 luglio 2008}}