Algebra lineare e geometria analitica/Spazi vettoriali: differenze tra le versioni
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notazioni e strutture algebriche |
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In questo primo capitolo si decriveranno gli spazi vettoriali e, per farlo in maniera precisa e dettagliata, verranno innazitutto richiamati alcuni concetti algebrici di base, nonchè alcune proprietà elementari di insiemi e numeri reali. Si passerà in seguito ad un analisi delle matrici e delle loro proprietà, concetti motivati dallo studio dei sistemi lineari. infine si affronterà la formalizzazione del concetto di Spazio vettoriale e della sua ricca struttura.
=Concetti di base e notazioni=
Verranno ora elencate tutte le convenzioni di notazione e i basilari concetti matematici fondamentali per tutta la trattazione successiva. Se il lettore si sente già padrone delle seguenti definizioni e notazioni può passare direttamente al paragrafo successivo.
==Insiemi e funzioni==
I simboli <math>\forall, \exists</math> indicano i quantificatori logici di base ovvero ''per ogni'' ed ''esiste''.
Gli insiemi verranno indicati con lettere maiuscole, gli elementi con lettere minuscole. Le relazioni fondamentali di appartenenza, inclusione, unione, intersezione verranno indicati con i simboli usuali. Ad esempio le seguenti espressioni hanno il significato posto loro a lato.
==Strutture algebriche fondamentali==▼
*<math>x \in A</math> significa che l'elemento <math>x</math> appartiene all'insieme <math>A</math>;
Il complementare di un insieme <math>X</math> all'interno di un insieme <math>Y</math> verrà indicato equivalentemento con <math>X^C</math> o con <math>Y \setminus X</math>.
Una funzione tra due insiemi è un'applicazione che associa ad ogni elemento del primo insieme (detto ''dominio'') un unico elemento del secondo insieme (''detto codominio''). La notazione <math>f: A \to B</math> sottointenderà che <math>f</math> è una funzione con dominio <math>A</math> e codominio <math>B</math>, e la notazione <math>a \mapsto b</math> sottointenderà che la funzione <math>f</math> è tale che <math>f(a)=b</math> ( si dirà che <math>b</math> è l'''immagine'' di <math>a</math> tramite <math>f</math>.
La notazione <math>:=</math> starà ad indicare una definizione del termine a sinistra del simbolo attraverso il simbolo di destra. Ovvero <math>A:=B</math> significa che definiamo l'oggetto <math>A</math> attraverso l'oggetto <math>B</math>
Gli insiemi numerici verranno indicati con i classici simboli <math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> rispettivamente per i numeri naturali, interi, razionali, reali e complessi.
▲==Strutture algebriche fondamentali==
Per poter affrontare i concetti di spazio vettoriale e molte delle sue proprietà è necessario essere in possesso di alcune definizioni di base di teoria dei gruppi e dei campi.
Per struttura intendiamo un insieme su cui sia definita un'ulteriore relazione o operazione chiusa rispetto all'insieme, nel senso che applicata ad elementi dell'insieme risulti ancora definito il suo "risultato" come un elemento dello stesso insieme. La struttura più semplice che incontreremo ora è quella di '''Gruppo'''.
===Gruppo===
La base del concetto di gruppo è un insieme su cui sia definita una operazione interna all'insieme con delle proprietà specifiche.
Consideriamo un insieme <math>A</math>. Un operazione su un insieme <math>A</math> è una funzione <math>\star: A \times A \to A</math>. In questo caso si indica generalmente l'immagine come <math>a_1 \star a_2 := \star(a_1,a_2)</math>.
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">'''Definizione'''
Un gruppo è una coppia <math>(A,\star)</math> dove <math>A</math> è un insieme e <math>\star</math> è un'operazione su <math>A</math> che verifiche le seguenti proprietà:
#<math>\star</math> è associativa, cioè <math>\forall a,b,c \in A</math> vale che <math>(a\star b)\star c = a \star (b\star c)</math>;
#esiste un elemento in <math>A</math> detto '''elemento neutro''' che si indica con <math>1_A</math> (a volte anche con <math>0_A</math>) tale che <math>\forall a \in A</math> vale che <math>a \star 1_A = 1_A \star a = a</math>;
#per ogni elemento esiste un ''inverso'': cioè <math>\forall a \in A\ \exists b \in A</math> tale che <math>a \star b = 1_A</math>. In tal caso si indica <math>b</math> con la notazione <math>a^{-1}</math>.
</div>
Analizziamo ora qualche esempio di gruppo.
*<math>(\mathbb{Z},+)</math> è un gruppo. Infatti la somma è associativa, <math>0</math> è l'elemento neutro (infatti <math>x+0=0+x=x\ \forall x \in \mathbb{Z}</math>) e per ogni numero intero <math> x </math> esiste <math> -x \in \mathbb{Z} </math> tale che <math> x + (-x) = (-x) + x = 0</math>.
*<math> (\mathbb{Q},\cdot)</math> è un gruppo. Si verifichi per esercizio le tre proprietà.
*<math> (\mathbb{N},+) </math> non è un gruppo. Non è infatti verificata la proprietà degli inversi.
Negli esempi sopra considerati l'operazione sull'insieme verifica anche un altra proprietà aggiuntiva: la commutatività. È sempre vero infatti che <math>x + y = y + x</math> per ogni numero intero. Non tutti i gruppi verificano questa proprietà, anche se per ora non siamo in grado di mostravene un esempio. I gruppi la cui operazioni è commutativa si chiamano gruppi commutativi o '''abeliani'''.
===Campo===
*(A,<math>\times</math>) è un gruppo▼
Il passo successivo rispetto alla struttura di gruppo è quello di considerare insiemi su cui siano definite più operazioni. Come idea tenete presente i numeri razionali su cui è definita sia la somma che il prodotto. In questo caso potremmo avere che l'insieme è un gruppo rispetto a tutte e due le operazioni (o quasi): se le due operazioni si "comportano bene" l'una rispetto all'altra si parlerà di campo. Vale infatti la seguente definizione:
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">'''Definizione'''
#<math>(K,\star)</math> è un gruppo abeliano con elemento neutro <math>0_K</math>;
#vale la proprietà distributiva, ovvero <math> (a\star b)$ c = (a $ c) \star (b $ c) \forall a,b,c \in K</math>
</div>
Il concetto di campo sarà fondamentale nella trattazione succesiva quindi vediamone alcuni esempi pratici.
*<math>(\mathbb{R},+, \cdot)</math> è un campo. Infatti la somma e il prodotto sui numeri reali verificano le propreità di gruppo. Inoltre è banale verificare che verificano la proprietà distributiva su ogni terna di numeri reali.
*<math>(\mathbb{Q},+, \cdot)</math> è un campo in modo del tutto analogo all'esempio precedente.
*<math>(\mathbb{Z},+, \cdot)</math> non è un campo, perchè non esiste un inverso per il prodotto di alcun numero intero diverso da <math>1, -1</math>.
==Sistemi di equazioni==
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[[Categoria:Geometria|Spazi vettoriali]]
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