Fisica classica/Gas ideali e reali: differenze tra le versioni

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Aggiunta isoterma di gas ideale
aggiunta la teoria cinetica dei gas
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:<math>pV=nRT\ </math>
 
Dove <math>T\ </math> è espresso in gradi <math>K\ </math> e <math>R=8.314\ \frac{J}{mol \cdot K}\ </math> viene detta [[w:Costante_universale_dei_gas|costante universale dei gas]], <math>n\ </math> è il numero di moli del gas. Un gas rispetta molto bene tale legge se la temperatura a cui si trova è molto maggiore della temperatura critica e la sua densità (o se si vuole la pressione) è di molto inferiore al valore critico. I gas principali <math>N_2\ </math> e <math>O_2\ </math> che fanno parte Nelldell'aria hanno una temperatura critica rispettivamente di <math>126\ K</math> e <math>155\ K</math> con pressioni critiche di <math>3.3\cdot 10^6\ Pa</math> e <math>5\cdot 10^6\ Pa</math>. Per questa ragione l'aria alla temperatura media della terra, se si trascura il vapore d'acqua, è un gas perfetto. L'acqua ha una temperatura critica di <math>647\ K</math> ed una pressione critica di <math>2.2\cdot 10^7\ Pa</math> e non può essere considerato un gas perfetto (la [[w:Nebbia|nebbia]] o la [[w:Pioggia|pioggia]] sono manifestazioni della non descrivibilità dell'acqua mediante l'equazione di stato dei gas perfetti).
 
In realtà esistono delle condizioni microscopiche affinché un gas si comporti come una gas perfetto:
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ad uno minore. In questo caso essendo <math>V_B<V_A\ </math> il lavoro sarebbe negativo, cioè
sarebbe necessario compiere del lavoro dall'esterno.
 
==Dalla teoria cinetica dei gas all'equazione di stato dei gas perfetti==
Definiamo un gas perfetto da un punto di vista microscopico in maniera più restrittiva di come fatto precedentemente per semplificare il ragionamento: consideriamo il gas tanto rarefatto per cui si possono trascurare gli urti tra le singole molecole rispetto agli urti con le pareti del recipiente.
 
Ricordiamo il fatto sperimentale che l'energia cinetica media delle molecole <math><E_{k}>\ </math> vale semplicemente:
 
<math><E_k>=\frac 12 m<v^2>=\frac 32k_BT\ </math>
 
[[Image:Scatola_teoria_cinetica.png|thumb|250px|right|Un parallelepipedo in cui è contenuto un gas rarefatto]]
<math><v^2>\ </math> è la velocità quadratica media delle molecole, ben diversa dalla velocità media che è nulla. Nella figura a fianco viene mostrato schematicamente come sia fatto il contenitore (un parallelepipedo
per semplicità) di volume <math>V=lA\ </math> che contiene le <math>N=nN_A\ </math> molecole di gas rarefatto. <math>n\ </math> è il numero di moli del gas.
 
Focalizziamo l'attenzione su una singola molecola che ha velocità <math>\vec v=(v_x,v_y,v_z)\ </math> ed osserviamola in un intervallo di tempo <math>\Delta t\ </math>. Se il recipiente è in equilibrio termodinamico con il gas gli urti con la parete saranno mediamente elastici.
 
Quindi la componente dell'impulso ceduto alla parete <math>A\ </math> ad ogni singolo urto nella direzione <math>x\ </math> sarà semplicemente <math>I_x=F_xdt=2mv_x\ </math>.
 
 
Il numero di urti <math>n_u\ </math> fatti in tale intervallo di tempo contro la parete è ovviamente pari al rapporto tra la durata <math>\Delta t\ </math> ed il tempo che la molecola impiega ad attraversare il recipiente (andata e ritorno):
 
<math>n_u=\frac {\Delta t}{2l/v_x}=v_x \frac {\Delta t}{2l}\ </math>
 
Quindi la componente della forza che mediamente viene esercitata da tale molecola sulla parete <math>A\ </math> nella direzione <math>x\ </math>:
 
<math>F_{xm}=n_u\frac {I_x}{\Delta t}=v_x \frac {\Delta t}{2l}\frac {2mv_x}{\Delta t}=\frac {mv_x^2}{l}\ </math>
 
Moltiplicando tale forza per le <math>N\ </math> molecole contenute nel volume <math>V\ </math> e dividendo per la superficie <math>A\ </math> su cui viene esercitata si ha la pressione media esercitata dal gas:
 
<math>P=\frac {NF_{xm}}A=nN_A\frac {mv_x^2}{lA}=nN_A\frac {mv_x^2}{V}\ </math>
 
Si è per semplicità immaginato che la componente della velocità al quadrato delle molecole siano eguali.
 
Dalla meccanica sappiamo che:
 
<math>v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2\ </math>
 
Ma anche non esiste una direzione previlegiata dello spazio cioè in media:
<math>
<v_x^2>=<v_y^2>=<v_y^2>=\frac {<v^2>}3\ </math>
 
Sostituendo a <math>v_x^2\ </math> il suo valore medio nell'equazione precedente:
 
<math>P=nN_A\frac {m<v^2>}{3V}\ </math>
 
Ma se sostituiamo la prima equazione data all'inizio del paragrafo si ha che:
 
<math>P=nN_A\frac {3k_BT}{3V}=\frac {nN_Ak_B T}V=\frac {nRT}V\ </math>
 
Che è l'equazione di stato dei gas perfetti.
 
 
 
 
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Primo principio della termodinamica]]
[[categoria:Fisica classica|Gas ideali e reali]]
 
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