Matematica per le superiori/La retta: differenze tra le versioni

Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Airon90 (discussione | contributi)
m →‎Equazione generica: ho fatto copia incolla e mi è rimasto un pezzo in più
Airon90 (discussione | contributi)
aggiunta dimostrazione iniziale e altre cosucce
Riga 1:
Nella geometria analitica la retta è la rappresentazione grafica di un '''polinomioequazione a due incognite di primo grado'''.
 
==Ricavare l'equazione==
==Equazione generica==
Tracciando una retta generica ''r'' su un piano cartesiano si prendono due punti P<small>1</small>(x<small>1</small>;y<small>1</small>) e P<small>2</small>(x<small>2</small>;y<small>2</small>) sulla retta noti e il punto P(x;y), intermedio, incognito. Si tracciano le proiezioni dei punti sugli assi, trovando H<small>1</small>, H e H<small>2</small> sull'asse delle ascisse e K<small>1</small>, K e K<small>2</small> su quello delle ordinate.
L'equazione generica di una retta è:
 
Secondo il [[w:Teorema di Talete|teorema di Talete]], valgono le equazioni:
 
<math>\frac{H_1 H}{H_1 H_2} = \frac{P_1 P}{P_1 P_2}</math> e <math>\frac{K_1 K}{K_1 K_2} = \frac{P_1 P}{P_1 P_2}</math>
 
 
Quindi, per proprietà simmetrica, si ottiene:
 
<math>\frac{H_1 H}{H_1 H_2} = \frac{K_1 K}{K_1 K_2}</math>
 
 
Riscrivendo l'equazione con le coordinate di P<small>1</small>, P e P<small>2</small> si ottiene
 
'''<big><math>\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}</math></big>'''
 
Mettendo a denominatore comune l'equazione, svolgendo i calcoli e ponendo <math>y_2 - y_1 = a</math>, <math>x_1 - x_2 = b</math> e x_2 y_1 - x_1 y_2 = c</math> si ottiene l'equazione in forma implicita:
 
'''<big><math>ax + by + c = 0</math></big>'''
 
==Il coefficiente angolare e l'intercetta==
Se si ricava la ''y'' da quell'equazione e si pone <math>- \frac{a}{b} = m</math> e <math>- \frac{c}{b} = q</math> si ottiene
 
'''<big><math>y = mx + q</math></big>'''
 
dove ''m'' è detto ''coefficiente angolare'' (o ''pendenza'') e q ''intercetta'' od ''ordinata all'origine'', in quanto, se poniamo <math>x = 0</math> esce <math>y = q</math>, il valore che ''q'' assume sull'ordinata.
 
* Il valore di '''q''' corrisponde all'ordinata del punto in cui la retta incontra l'asse delle ordinate, (quindicioè quando x =è uguale a 0); le rette passanti per l'origine di conseguenza non hanno q (quguale =a 0) e la loro equazione generica è:<br><math>y = mx</math><br>Il il che è anche logico: se, quando x=0 e annulla il monomio mx, non c'è nessun altro valore a far variare la y, allora anch'essa vale 0, e quindi P(0,0).
* Da '''m''' dipende invece l'inclinazione della retta. Trascurando q una retta con m>0 riguarderebbe il 1° e il 3° quadrante, mentre con m<0 il 2° e il 4°. L'inclinazione è il rapporto tra la differenza delle y e la differenza delle x di due punti qualsiasi su una retta:<br><math>m = \frac{\Delta y}{\Delta x}</math><br>Con '''m = 0''' la retta corrispondente sarà '''orizzontale''', infatti:<br><math>y_1 = y_2</math><br><math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0}{\Delta x} = 0</math><br>Al contrario il coefficiente angolare di una retta '''verticale''' tenderà ad '''infinito''':<br><math>x_1 = x_2</math><br><math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{0}</math><br>L'equazione di una tale retta cambia pertanto struttura e diventa del tipo <br>'''<big><math>x = k</math></big>'''<br>dove il parametro k indica l'ascissa (kostante) dei suoi infiniti punti.<br>Ad alcuni angoli particolari corrispondono determinati coefficienti angolari:
{|border=1 cellspacing=0 cellpadding=1