Aritmetica modulare/Polinomi in aritmetica modulare: differenze tra le versioni
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Se ''X'' è la ''n''-upla nulla, allora ''f''(''X'')=1, e così ''g''(''X''), perché tutti i fattori sono uguali a 1. Se invece almeno uno tra gli <math>x_i</math> è diverso da 0, allora ''g''(''X'')=0 perché il fattore <math>(1-x_i^{p-1})</math> è uguale a 0; d'altra parte, si ha anche <math>P(X)\equiv 1</math>, perché ''P''(''X'') è diverso da 0 (l'unica soluzione è quella nulla) e si può applicare il piccolo teorema di Fermat. Quindi i due polinomi assumono sempre lo stesso valore modulo ''p''.
Consideriamo ora i loro gradi. ''g''(''X'') ha grado ''n''(''p'' -1), perché esiste un monomio in cui tutte le incognite hanno grado ''p'' -1, e non possono quindi essere ridotte. Il grado di ''f''(''X''), d'altra parte, non può essere più di ''g''(''p'' -1) (potrebbe essere strettamente minore, in quanto ci si può trovare a dover ridurre il grado di un'incognita per farlo diventare minore di ''p''); quindi ''f''(''X'') ha grado strettamente minore di ''g''(''X''): poiché il grado in ogni incognita è minore di ''p'', ''f''(''X'') e ''g''(''X'') non possono però assumere sempre lo stesso valore, perché i loro gradi sono diversi.
Abbiamo quindi una contraddizione, che è dovuta all'aver supposto che esiste un'unica soluzione. Di conseguenza, esiste almeno un'altra ''n'' -upla che risolve la congruenza.
== Generalizzazioni ==
Il teorema di Chevalley può essere generalizzato.
Infatti, supponiamo che l'unica soluzione conosciuta non sia quella nulla (0,0,...,0), ma una generica <math>(a_1,a_2,\ldots,a_n)</math>, e che ''P''(''X'') abbia comunque grado minore del numero di incognite. In questo caso, per dimostrare che esiste un'altra soluzione, è sufficiente variare la definizione di ''g''(''X''):
<math>g(X)=[1-(x_1-a_1)^{p-1}][1-(x_2-a_2)^{p-1}]\ldots[1-(x_n-a_n)^{p-1}]</math>
La situazione è esattamente quella precedente: ''g''(''X'')=1 se e solo se <math>X=(a_1,a_2,\ldots,a_n)</math>, mentre altrimenti è uguale a 0, così come ''f''(''X''). Inoltre il loro grado è rispettivamente ''n''(''p'' -1) e un numero minore o uguale di ''g''(''p'' -1): quindi non possono essere uguali, e i due polinomi non possono coincidere, il che è assurdo perché hanno sempre lo stesso valore. Quindi esiste almeno un'altra soluzione.
Un teorema molto più forte è invece il teorema di Waring. Esso afferma che, nelle stesse condizioni di questa prima generalizzazione (grado minore del numero di incognite, esistenza di almeno una soluzione) il numero di soluzioni è divisibile per ''p''. Supponiamo infatti che ci siano ''m'' soluzioni <math>X_1,X_2,\ldots,X_m</math>, e costruiamo i polinomi
:<math>g(X_i)=[1-(x_1-a_1^{i))^{p-1}][1-(x_2-a_2^{i))^{p-1}]\ldots[1-(x_n-a_n^{i))^{p-1}]</math>
dove <math>a_j^{i)</math> indica la ''j''-esima componente di <math>X_i</math>, e li sommiamo insieme, costruendo
:<math>g(X)=g(X_1)+g(X_2)+\ldots+g(X_m)</math>
Quando ''X'' è una delle soluzioni, ''g''(''X'') è uguale a 1, perché il corrispondente <math>g(X_i)</math> è uguale a 1, mentre gli altri sono uguali a 0; se invece ''X'' non è una delle soluzioni, tutti gli addendi sono uguali a 0, e quindi anche ''g''(''X'').
Come prima, costruiamo anche
:<math>f(X)=1-[P(X)]^{p-1}</math>
che ha grado minore o uguale di ''g''(''p'' -1), e assume sempre lo stesso valore di ''g''(''X''). Ora in ''g''(''X'') vi sono ''m'' fattori del tipo <math>x_1^{p-1}x_2^{p-1}\ldots x_n^{p-1}</math> che sono di grado ''n''(''p'' -1). Ma i due gradi devono essere uguali, quindi il monomio di grado ''n''(''p'' -1) d i''g''(''X'') deve annullarsi, cioè si deve avere
:<math>mx_1^{p-1}x_2^{p-1}\ldots x_n^{p-1}\equiv 0\mod p</math>
per ogni scelta degli <math>x_i</math>. perché sia possibile, si deve avere <math>m\equiv 0\mod p</math>, cioè ''m'' deve essere divisibile per ''p''. Ma siccome ''m'' era stato definito come il numero di soluzioni di ''P''(''X''), si ha che queste ultima sono in numero divisibile per ''p'', come volevasi dimostrare.
[[categoria:Aritmetica modulare]]
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