Analisi complessa/Funzioni di variabile complessa: differenze tra le versioni
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{{Analisi complessa}}
:<math>f:S \subseteq \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math>▼
Risulta particolarmente utile sottolineare il legame tra <math>\mathbb{C}</math> ed <math>\mathbb{R}^{2}</math>, perché molte delle proprietà delle funzioni di variabile complessa diventano conseguenze dirette di quelle della funzioni in <math>\mathbb{R}^{2} </math>.<br/>
Sia <math>\Phi</math> una funzione biunivoca che mappa <math>\mathbb{C}</math> in <math>\mathbb{R}^{2}</math>, ad esempio ▼
:<math>\Phi:z =x+I y \mapsto \mathbf{w}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}</math> ▼
▲Una funzione di variabile complessa e' una funzione
▲<math>f:S \subseteq \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math>
▲, dove ovviamente si comprendono come casi particolari le funzioni reali
<math>\mathbb{R}^{2}</math>▼
▲<math>\mathbb{C}</math> in <math>\mathbb{R}^{2}</math>, ad esempio
▲<math>\Phi:z =x+I y \mapsto \mathbf{w}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}</math>
Possiamo scrivere ogni funzione di variabile complessa
:<math>f:S\subseteq \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math>
come somma di due funzioni :<math>\Phi(S)\subseteq\R^{2}\rightarrow \R</math>
:<math>f(z=x+Iy)=u(x,y)+I v(x,y) \,</math>▼
▲<math>f(z=x+Iy)=u(x,y)+I v(x,y)</math>
I limiti sono definiti in modo ovvio, rispetto alla distanza di
:<math>\mathbb{C}</math>; scriviamo
:<math>lim_{z \rightarrow z_0}f(z)=w \iff \forall\epsilon>0 : \exists \delta : |z-z_0| <\delta\Rightarrow|f(z)-w|<\epsilon</math>▼
▲lim_{z \rightarrow z_0}f(z)=w \iff \forall\epsilon>0 : \exists \delta : |z-z_0| <\delta\Rightarrow|f(z)-w|<\epsilon
I limiti ad infinito seguono sulla base della definizione di un ''intorno'' di <math>\infty</math> come <math>|z|>1 \exists \epsilon :\epsilon>0</math>
:<math>lim_{z\rightarrow\infty}f(z)=w\iff\forall\epsilon>0 :\exists \delta:|z|>\frac{1}{\delta} \Rightarrow\ |f(z)-w|<\epsilon</math>▼
▲lim_{z\rightarrow\infty}f(z)=w\iff\forall\epsilon>0 :\exists \delta:|z|>\frac{1}{\delta} \Rightarrow\ |f(z)-w|<\epsilon
:<math>lim_{z \rightarrow z_0}f(z)=\infty \iff\forall\epsilon>0:\exists\delta:|z-z_0|<\delta\Rightarrow |f(z)|>\frac{1}{\epsilon}</math>▼
▲lim_{z \rightarrow z_0}f(z)=\infty \iff\forall\epsilon>0:\exists\delta:|z-z_0|<\delta\Rightarrow |f(z)|>\frac{1}{\epsilon}
===TEOREMA 1.2.3===
:<math>f(z=x+Iy)=u(x,y)+Iv(x,y) \,</math>
<math>z_0=x_0+I y_0</math>▼
, <math>lim_{z\rightarrow z_0}f(z)=w_0</math>▼
se e solo se <math>lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0}u(x,y)=u_0\qquad {e} \qquad \lim_{(x,y)\rightarrow(x_0),y_0}v(x,y)=v_0▼
:Se <math>lim_{z\rightarrow z_0}f(z)= f_0</math> e <math>lim_{z\rightarrow z_0}g(z)=g_0</math> allora▼
se e solo se
<math>lim_{z\rightarrow z_0}[f(z)+g(z)]=f_0+g_0</math>▼
▲
Se
<math>lim_{z\rightarrow z_0}[f(z)g(z)]=f_0g_0</math>▼
▲:
▲:<math>lim_{z\rightarrow z_0}[f(z)+g(z)]=f_0+g_0</math>
▲:<math>lim_{z\rightarrow z_0}[f(z)g(z)]=f_0g_0</math>
:<math>lim_{z\rightarrow z_0}[f(z)/g(z)]=f_0/g_0</math>
per
:<math>h_0\neq0</math>
Anche la definizione di
è continua in <math>z_0</math> se ▼
:<math>lim_{z\rightarrow z_0}f(z)=f(z_0)</math>▼
Una funzione si dice continua in un insieme se e' continua per ogni punto di quell'insieme.▼
▲Anche la definizione di continuita' ricalca quella per una funzione in un
▲<math>z_0</math>
▲<math>lim_{z\rightarrow z_0}f(z)=f(z_0)</math>
▲, sottointendendo che questa scrittura presupponga l'esistenza del limite
▲Una funzione si dice continua in un insieme se e' continua per ogni punto
Una funzione <math>f(z)</math> è continua se e solo se le sue componenti <math>u</math> e <math>v</math> sono continue.
La funzione composta da due funzioni continue e' continua.
Una funzione continua su un insieme <math>A</math> chiuso e limitato è limitata, e pertanto il suo modulo raggiunge il valore massimo per almeno un punto di <math>A</math>.
[[Categoria:Analisi complessa|Funzioni di variabile complessa]]
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