Matematica per le superiori/Le equazioni irrazionali: differenze tra le versioni
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:<math>\sqrt[n]{A(x)} = B(x) \,</math>
== Risoluzione ==
Nel caso ''n'' sia un numero dispari è sufficiente elevare entrambi i membri dell'equazione per lo stesso indice:
:<math>A(x) = B(x) ^ n \,</math>
ritornando così ad un caso di partenza (un'equazione) senza però il radicale considerato inizialmente.
La faccenda si fa più complicata se si considerano i casi in cui ''n'' è un numero pari, ai quali è dedicato questo capitolo. Infatti elevando entrambi i membri di un'equazione per un numero pari non si ottiene necessariamente un'equazione equivalente: infatti se abbiamo l'equazione <math>x = -x \,</math>, la cui soluzione è 0, elevando entrambi i membri alla seconda otteniamo <math>x^2 = x^2 \,</math>, che ha invece infinite soluzioni.
Consideriamo ad esempio questa equazione:
Line 19 ⟶ 20:
:<math>x = \frac{11 \pm 5}{2} \,</math>
:<math>x_1 = 8
Per verificare i risultati ottenuti utilizziamo la sostituzione:
Line 35 ⟶ 36:
L'unica soluzione accettabile è quindi <math>x = 8</math>
=== Condizioni di concordanza ===
[[Categoria:Matematica per le soluzioni|Equazioni irrazionali]]▼
Abbiamo visto che con la verifica delle soluzioni possiamo escludere le soluzioni non accettabili semplicemente utilizzando la sostituzione. Per ottenere lo stesso risultato è però possibile porre delle condizioni. Ad esempio nel nostro semplice caso:
{{Avanzamento|25%|17 maggio 2008}}▼
:<math>\sqrt[n]{A(x)} = B(x) \,</math> con n pari
dovremo porre delle condizioni di esistenza affinché sotto radice ci sia una quantità positiva o nulla (quindi <math>A(x) \geq 0 \,</math>). Se il risultato di <math>\sqrt[n]{A(x)}</math> è un numero positivo o nulla, in quanto è il risultato di un'estrazione di una radice con indice pari, significa che anche <math>B(x) \geq 0 \,</math>.
Tornando al nostro esempio
:<math>\sqrt{x + 1} = x - 5 \,</math>
Le condizioni da porre saranno le seguenti:
:<math>x + 1 \geq 0 \rarr x \geq -1 \,</math>
:<math>x - 5 \geq 0 \rarr x \geq 5 \,</math>
Dovendo considerare entrambe le condizioni contemporaneamente la nostra condizione sarà <math>geq 5 \,</math>.
Svolgiamo ora l'equazione e otteniamo i due risultati:
:<math>x_1 = 8; x_2 = 3 \,</math>
Possiamo ora dire in base alle nostre condizioni, senza effettuare le sostituzioni, che l'unica soluzione accettabile è <math>x = 8</math> in quanto 3 è minore di 5.
== Altri casi ==
Il metodo delle condizioni è più veloce è più pulito, ma con gli strumenti a nostra disposizione non può essere sempre applicabile in modo corretto. Esamineremo pertanto di seguito i casi risolvibili tramite le condizioni che siamo in grado di risolvere.
Quando in una equazione compaiono più di una radice, la cosa più conveniente è riuscire ad ottenere solo somme e non differenze in modo che, una volta poste le condizioni di esistenza, si possa essere sicuri anche della concordanza del segno:
:<math>\sqrt{x+1} - \sqrt{x+6} = -1 \,</math>
In questo caso potrei dopo aver posto delle condizioni di esistenza non potrei più ragionare sulla concordanza del segno, in quanto la differenza di quantità positive o nulle (cioè <math>\sqrt{x+1} - \sqrt{x+6}</math>) non si può sapere se sia positiva o nulla.
Portiamo quindi i membri dalle parti opportune in modo da ottenere solo delle somme:
:<math>\sqrt{x+1} + 1 = \sqrt{x+6} \,</math>
Ora poniamo le condizioni di esistenza delle radici:
:<math>x + 1 \geq 0 \rarr x \geq -1 \,</math>
:<math>x+6 \geq 0 \rarr x \geq -6 \,</math>
:quindi <math>x \geq -1</math>
Ora passiamo ai segni: sappiamo che <math>\sqrt{x + 6}</math> è sempre positivo o nullo così come lo è <math>\sqrt{x+1}</math> e a sua volta dunque <math>\sqrt{x+1} + 1</math> sarà positivo.
Eleviamo entrambi i membri al quadrato:
:<math> ( \sqrt{x+1} + 1 )^ 2 = \sqrt{x+6}^2 \,</math>
:<math> x+1 + 2\sqrt{x+1} + 1 = x+ 6 \,</math>
:<math> 2\sqrt{x+1} = x + 6 - x - 2 \,</math>
:<math> 2\sqrt{x+1} = 4\,</math>
:<math> \sqrt{x+1} = 2\,</math>
Siamo quindi ricaduti in un caso precedente. Poniamo di nuovo la condizione che è ancora <math>x \geq -1</math> e procediamo:
:<math> x+1 = 4\,</math>
:<math> x = 3\,</math>
che è la nostra soluzione.
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