Fisica classica/Induzione e legge di Faraday: differenze tra le versioni

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Il flusso di induzione magnetica attraverso una qualsiasi superficie chiusa è sempre eguale a zero, in quanto
non vi sono monopoli magnetici. Possiamo quindi considerare una qualsiasi linea chiusa dello
spazio e associare ad essa una supeficesuperfice che abbia tale linea come contorno, il flusso attraverso
tale superfice è lo stesso qualsiasi superfice si consideri. Un circuito composto da <math>N\ </math>
spire ha come contorno una linea chiusa dello spazio, ma in realtà il flusso del campo di induzione
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I circuiti di questo tipo sono alla base di quelli che vengono
chiamati i trasformatori.
==Transitori induttivi==
[[Immagine:Transitorio_induttivo_a.png|thumb|300px|right|
Iniezione di corrente da un generatore di f.e.m. su una induttanza]]
L'introduzione dell'induttanza ci permette di calcolare la f.e.m.
indotta da variazioni di flusso concatenate con circuiti percorsi da
corrente elettrica variabile nel tempo. Immaginiamo di avere un
generatore di f.e.m che viene connesso ad una resistenza in serie
con una induttanza mediante l'interruttore mostrato in figura. La legge di
Faraday si riduce nel caso di una induttanza
nell'espressione:
 
<math>f_a=-\frac {d\Phi_c(B)}{dt}=-L\frac {dI}{dt}\ </math>
 
Dove il pedice <math>a\ </math> sta a indicare che si tratta di forza elettromotrice autoindotta che tende a impedire variazioni di correnti al suo interno.
 
Nel caso specifico abbiamo introdotto una resistenza <math>R\ </math> in serie che
tiene conto della eventuale resistenza interna del
generatore, dell'induttanza (sono entrambe in serie) o una resistenza opportuna.
 
L'equazione della maglia nel tempo del circuito deve tenere conto che agisce non solo il
generatore di forza elettromotrice <math>f\ </math>, ma anche la forza elettromotrice autoindotta
<math>f_a\ </math>:
 
<math>f+f_a=RI\ </math>
 
Sostituendo i vari termini:
 
<math>RI=f-L\frac {dI}{dt}\ </math>
 
da cui separando le variabili
 
<math>\frac {dI}{I-f/R}=-\frac RL dt\ </math>
 
definendo <math>\tau=L/R\ </math>, e integrando tra il tempo <math>t=0\ </math> in cui la corrente è nulla ed il tempo generico segue che:
 
<math>\ln \frac {I(t)-f/R}{-f/R}=-\frac t{\tau}\ </math>
 
che diventa:
 
<math>I=\frac fR(1-e^{-t/\tau})\ </math>
 
[[Immagine:Transitorio_induttivo_b.png|thumb|300px|right|
Iniezione di corrente da un generatore di f.e.m. su una induttanza con in parallelo una resistenza
grande]]
 
Che significa che a causa della <math>f_a\ </math> in un circuito la corrente non
raggiunge istantaneamente il valore <math>f/R\ </math>, ma si avvicina
asintoticamente con una costante di tempo <math>L/R\ </math>.
 
Il termine <math>-L\frac {dI}{dt}\ </math> dovuto alla legge di Faraday, viene nella maggior parte dei casi considerato una ulteriore d.d.p. e quindi aggiunta con il segno opposto dall'altro lato
della equazione. Questo approccio verrà seguito nel seguito, anche se porta a qualche
contraddizione.
 
Per far vedere il caso opposto, e rendere l'esempio fisicamente credibile
dobbiamo un caso sostanzialmente simile a quello descritto illustrato
nella figura a fianco. Immagiamo grande la resistenza in parallelo all'induttanza (questo
significa <math>\alpha\gg 1</math>. Secondo questa ipotesi il sistema non è molto differente
dal precendente infatti ai capi dell'induttanza il circuito è equivalente utilizzando
[[Fisica_classica/Elettrodinamica#Teorema_di_Thevenin|Teorema di Thevenin]], e considerando che
<math>\alpha\gg 1</math>:
 
<math>R_{th}=R\frac {\alpha}{\alpha +1}\approx R\ </math>
 
<math>f_{th}=f\frac {\alpha}{\alpha +1}\approx f\ </math>
 
Quindi se partiamo dalla condizione iniziale illustrata con l'interruttore chiuso (avendo
aspettato un tempo sufficientemente lungo), la corrente che inizialmente scorre nell'induttanza
vale:
 
<math>I_o\approx \frac fR\ </math>
 
Mentre la d.d.p. ai capi di <math>\alpha R</math> sarà nulla.
 
Se a questo punto apriamo l'interruttore avremo la seguente equazione che descrive la maglia:
 
<math>-L\frac {dI}{dt}=\alpha R\ </math>
 
da cui separando le variabili
 
<math>\frac {dI}{I}=-\frac {\alpha R}L dt\ </math>
 
Se ora definiamo <math>\tau =\frac L{\alpha R}\ </math> ed integriamo (cambiando il nome delle
variabili):
 
<math>\int_{I_o}^I\frac {dI'}{I'}=-\int_0^t\frac {dt'}{\tau}\ </math>
 
Da cui:
 
<math>I(t)=I_oe^{-t/\tau }\ </math>
 
La tensione ai capi della resistenza (di polarità opposta a quando è collegato al generatore di f.e.m. diventa:
 
<math>V(t)=I_o\alpha R e^{-t/\tau }\approx \alpha fe^{-t/\tau }\ </math>