Fisica classica/Elettrodinamica: differenze tra le versioni
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== Elettrodinamica ==
In elettrostatica per definizione le cariche sono immobili e si
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<math>r_e=\frac {r_1r_2}{r_1+r_2}\ </math>
==Carica e scarica dei condensatori==
=== Scarica===
[[Image:CASCA.png|thumb|300px|right|Carica e scarica di un condensatore]]
Immaginiamo di avere un condensatore carico con una carica iniziale <math>Q_o\ </math> (positiva sulla armatura superiore) e al tempo
<math>t=0\ </math> mettiamo in contatto le due armature cariche attraverso la resistenza <math>R\ </math> (indicato simbolicamente nella figura dall'interruttore che connette i punti più a destra).
Ad ogni istante la carica presente sulla armatura positiva sarà <math>Q(t)\ </math> ed un corrente <math>I(t)\ </math> scorrerà nella resistenza <math>R\ </math>, ma dovendo essere nulla la circuitazione del campo elettrico nella maglia costituita dai due elementi circuitali detti le differenze di potenziale ai loro capi devono essere eguali istante per istante:
<math>\frac {Q(t)}C=I(t)R\ </math>
Avendo scelto come verso della corrente il senso contro orario (dal potenziale maggiore l'armatura superiore a quello inferiore). La derivata cambiata di segno della carica istantanea è pari a tale corrente, omettendo per semplicità la dipendenza dal tempo:
<math>I=-\frac {dQ}{dt}\ </math>
Quindi l'equazione della maglia diventa
<math>\frac {Q(t)}C=-R\frac {dQ}{dt}\ </math>
Separando le variabili:
<math>\frac {dQ}Q=-\frac {dt}{RC}\ </math>
Se definiamo la costante di tempo :<math>RC=\tau\ </math> e integriamo dall'istante iniziale al tempo generico <math>t'\ </math>, quando la carica ha un valore <math>Q'\ </math>:
<math>\int_{Q_o}^{Q'}\frac {dQ}Q=-\int_0^{t'}\frac {dt}{RC}\ </math>
<math>Q'=Q_oe^{-t'/\tau }\ </math>
cambiando di nome alle variabili mute:
<math>Q(t)=Q_oe^{-t/\tau }\ </math>
La costante di tempo, data dal prodotto della resistenza per la capacità, determina la velocità con cui si scarica il condensatore la cui carica diminuisce con legge esponenziale, chiaramente la tensione ai capi del condensatore <math>V_C\ </math> diminuisce anche essa esponenzialmente nel tempo:
<math>V_C(t)=\frac {Q_o}Ce^{-t/\tau }\ </math>
Come anche la corrente circolante nella maglia:
<math>I=-\frac {dQ}{dt}=\frac {Q_o}{\tau}e^{-t/\tau }=\frac {Q_o}{RC}e^{-t/\tau }\ </math>
Dal punto di vista del bilancio energetico, l'energia totale dissipata per effetto Joule, nella resistenza, è pari
a:
<math>E_d=\int_0^{\infty}I(t)^2Rdt=R\frac {Q_o^2}{(RC)^2}\int_0^{\infty}e^{-2t/RC }dt=\frac 12 \frac {Q_o^2}C
\ </math>
Cioè tutta l'energia immagazzinata nel condensatore inizialmente viene dissipata per effetto Joule nella resistenza (rispettando la conservazione dell'energia).
===Carica===
Il processo inverso corrisponde (fare sempre riferimento alla figura) al connettere un condensatore inizialmente scarico ad un generatore di forza elettromotrice. In questo caso il segno scelto per la corrente è quello orario e l'equazione della maglia è:
<math>f=RI(t)+\frac {Q(t)}C\ </math>
In questo caso ovviamente la corrente è la semplice derivata della carica nel tempo:
<math>I=\frac {dQ}{dt}\ </math>
Quindi l'equazione della maglia diventa:
<math>f=R\frac {dQ}{dt}+\frac {Q(t)}C\ </math>
separando le variabili:
<math>\frac {dQ}{Q-Cf}=-\frac {dt}{\tau }\ </math>
Che integrata:
<math>\int_0^{Q'}\frac {dQ}{Q-Cf}=\int_0^{t'}-\frac {dt}{\tau }\ </math>
<math>Q(t)=Cf\left(1-e^{-t/\tau} \right)\ </math>
Quindi la tensione ai capi del condensatore cresce con la stessa legge:
<math>V_C(t)=f\left(1-e^{-t/\tau} \right)\ </math>
Mentre la corrente di carica sarà:
<math>I=\frac {dQ}{dt}=\frac fRe^{-t/\tau}\ </math>
Dal punto di vista del bilancio energetico, il sistema non è isolato e quindi mentre l'energia totale fornita dal generatore di f.e.m. vale:
<math>E_f=\int_0^{\infty}fI(t)dt=\frac {f^2}R\int_0^{\infty}e^{-t/\tau}dt=\frac {f^2}C\ </math>
L'energia immagazzinata nel condesatore vale come già visto
<math>E_c=\frac {f^2}{2C}\ </math>
Che è la metà di quella fornita dal generatore in quanto il resto dell'energia viene dissipata
per effetto Joule nella resistenza, infatti:
<math>E_d=\int_0^{\infty}I(t)^2Rdt=R\frac {f^2}{R^2}\int_0^{\infty}e^{-2t/RC }dt=\frac {f^2}{2C}\ </math>
Riepilogando la carica e la scarica di un condensatore sono fenomeni che si svolgono in un tempo determinato dalla costante di tempo del circuito. Il condensatore nel processo di carica si comporta come una resistenza variabile nulla nell'istante iniziale e sempre maggiore via via che viene caricato. Nel processo di scarica si comporta come un generatore di f.e.m. variabile con f.e.m. iniziale eguale alla carica iniziale divisa la capacità.
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