Matematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado: differenze tra le versioni
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===Equazioni di secondo grado complete===
Si dicono '''complete''' le equazioni di secondo grado
<math> ax^2 + bx + c = 0 </math>
====Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete====
Partiamo dall'equazione ridotta alla forma canonica:
<math> ax^2 + bx + c = 0 </math> con <math>a, b, c \in \R</math> e <math>a \not= 0, b \not= 0, c \not= 0</math>
Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4a</math>:
<math> 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 </math>
Aggiungiamo quindi <math>b^2</math> a entrambi i membri, dopo aver spostato il termine noto:
<math> 4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac </math>
Il primo membro è quindi scomponibile come quadrato di un binomio:
<math> (2ax + b)^2 = b^2 - 4ac </math>
Il secondo membro di questa equzione è chiamato '''discriminante''', in quanto ''discrimina'', differenza il procedimento di calcolo della soluzione. È indicato con la lettera greca <math>\Delta</math> (delta maiuscola). Analizziamo i tre casi:
* <math>\Delta < 0</math>
:L'equazione non ha soluzioni in <math>\R</math>, in quanto la quantità <math> (2ax + b)^2</math> è sempre positiva o nulla, essendo elevata al quadrato.
* <math>\Delta > 0</math>
:In questo caso risolviamo normalmente l'equazione:
:<math> (2ax + b)^2 = b^2 - 4ac </math>
:<math> 2ax + b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac} </math>
:<math> 2ax = -b\pm\sqrt{b^2-4ac}</math>
:<math> x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
:L'equazione ha quindi due soluzioni, una <math>\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> e una <math>\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>.
* <math>\Delta = 0</math>
: L'equazione diventa quindi <math>(2ax + b)^2 = 0</math>, cioè <math>(2ax + b)(2ax + b) = 0</math>; quindi, per la legge dell'annullamento del prodotto, <math>x_{1,2} = - {b \over 2a}</math>.
====Esempio====
<math>
Calcoliamo la discriminante:
<math>\Delta = 3^2 - (- 40) = 9 + 40 = 49</math>
A questo punto risolviamo, con <math>\Delta > 0</math>:
<math> x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{49}}{2}</math>
<math> x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac {4}{2} = 2</math>
<math> x_1 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac {-10}{2} = -5</math>
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