Versione delle 19:50, 17 dic 2007 modifica Pietrodn (discussione \| contributi) 11 755 modifiche indicizzazione categoria ← Differenza precedente		Versione delle 20:37, 30 dic 2007 modifica annulla Ramac (discussione \| contributi) 8 469 modifiche wikificato Differenza successiva →
Riga 1: ~~{{da wikificare\|Dare una sistematina per renderlo più "leggibile"...}}~~ :'''[[/Copertina/]]''' ~~= Calcolo mentale =~~ Svolgere alcuni calcoli matematici usando solo il proprio cervello può talvolta sembrare difficile.<br/> Questo piccolo manuale vuole proporre alcune tecniche e metodi che possono facilitare di molto queste operazioni. ~~operazioni.~~ == Addizioni == Quando si devono '''addizionare''' molti numeri piccoli, è comodo '''riunirli per formare dei multipli di 10'''. ~~<br/>~~ === Esempio: ===▼ Per esempio dovendo svolgere 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 8, conviene scriverlo (3 + 7) + (9 + 11) + (2 + 8) + 5 = 10 + 20 + 10 + 5 = 45.<br/> Si tratta semplicemente delle proprietà commutativa e associativa dell'addizione. == Sottrazioni == Conviene partire dal numero più piccolo e aggiungere man mano cercando di raggiungere dei valori più semplici (per esempio divisibili per 10) fino a quando non si ottiene l'altro numero.~~<br/>~~▼ === Esempio === ▲Conviene partire dal numero più piccolo e aggiungere man mano cercando di raggiungere dei valori più semplici (per esempio divisibili per 10) fino a quando non si ottiene l'altro numero.<br/> Per esempio, per sottrare 67 da 213 si parte dal numero più piccolo, 67, e si aggiunge 3, 30, 100 e 13. <br/> Così da 67 si passerebbe a 70, poi 100, 200, e 213 - sommando i numeri che abbiamo usato vediamo che il risultato è 146. == Moltiplicazioni == Moltiplicando è molto importante scegliere le somme più semplici. ~~<br/>~~▼ === Esempio === ▲Moltiplicando è molto importante scegliere le somme più semplici. <br/> Per esempio <math>251 x\times 325</math> può sembrare una moltiplicazione piuttosto difficile, ma più facile se scritta come <math>(251 x\times 5) + (251 x\times 20) + (251 x\times 300)</math>, o anche, in maniera più essenziale, come <math>(251 x\times 300) + (251 x\times 25)</math>. === Fattorizzare === Se uno o più numeri sono facilmente divisibili, si può rendere il tutto più semplice. Per esempio <math>72 x\times 39</math> può sembrare difficile, mentalmente, ma come <math>8 x\times 9 x\times 3 x\times 13</math> diventa più gestibile. Per prima cosa, metti in ordine i numeri dal più difficile da moltiplicare all'ultimo. Poi esegui le moltiplicazioni una alla volta. #<math>13 x\times 8 = 10 x\times 8 + 3 x\times 8 = 80 + 24 = 104</math> #<math>104 x\times 9 = 936</math> #<math>936 x\times 3 = ~~2.808~~2808</math> === Prime cifre uguali, seconde cifre hanno somma 10 === Se i numeri soddisfano questa condizioni, si può usare una tecnica molto semplice~~.<br/>~~ : #Moltiplichiamo la prima cifra per se stessa più 1.~~<br/>~~ #Moltiplichiamo fra di loro le seconde cifre. #Mettiamo il secondo prodotto alla destra del primo per ottenere la soluzione. Esempio: 98 x<math> \times 92<br/math>92 #<math>9 x\times 10 = 90</math> #<math>8 x\times 2 = 16 </math> #9016 === Fattori appena sopra 100 === Se i numeri sono di i poco superiori a 100 e le ultime due cifre di entrambi danno un prodotto inferiore a 100, possiamo usare un'altra tecnica. ;Esempio~~:<br/>~~ <math>103 x\times 124. 3 x\times 24 = 72</math>, che è minore di 100, quindi questa tecnica può essere usata. ~~<br/>~~ <math>117 x\times 112. 17 x\times 12 = 204</math>, che è maggiore di 100, e quindi la tecnica non può essere usata.~~<br/>~~ Se questo test da esito positivo (prodotto ultime due cifre < 100), allora il risultato della moltiplicazione sarà uguale a... :1[somma delle due ultime cifre][prodotto delle ultime due cifre] ;Esempi: <math>108 x\times 109</math> = 1[8+9][8x9] = 1[17][72] = 11.772 <math>105 x\times 115</math> = 1[5+15][5x15] = 1[20][75] = 12.075 <math>132 x\times 103</math> = 1[32+3][32x3] = 1[35][96] = 13.596 Per numeri appena sopra 200, 300, 400 e così via la formula è un po' più complessa: :[prodotto prime cifre][(somma ultime due cifre] x<math> \times </math>prima cifra][prodotto ultime due cifre] ;Esempi: 215 x<math> \times </math>204 = [2x2][(15+4)x2][15x4] = [4][19x2][60] = [4][38][60] = 43.860 417 x<math> \times </math>403 = [4x4][(17+3)x4][3x17] = [16][20x4][51] = [16][80][51] = 168.051 Per numeri appena sopra 1000, 2000, 3000 e cosi via, si fa così: :[prodotto prime cifre]0[(somma ultime due cifre) x<math> \times </math>prima cifra]0[prodotto ultime due cifre] Esempi: 2.008 x<math> \times </math>2.009 = [2x2]0[(8+9)x2]0[8x9] = [4]0[17x2]0[72] = [4]0[34]0[72] = 4.034.072 3.005 x<math> \times </math>3.007 = [3x3]0[(5+7)x3]0[7x5] = [9]0[12 x<math> \times </math>3]0[35] = [9]0[36]0[35] = 9.036.035 5.004 x<math> \times </math>5.006 = [5x5]0[(4+6)x5]0[6x4] = [25]0[10x5]0[24] = [25]0[50]0[24] = 25.050.024 === Verticale e Diagonale ===▼ ▲=== Verticale e ~~Diagonale~~diagonale === Se i moltiplicatori non hanno più di due cifre ciascuno, si può usare questa tecnica. Essendo la moltiplicazione <math>AB x\times CD</math>, e facendo un esempio con <math>38 x\times 25</math>, il prodotto viene formato così.: ;unità : prodotto delle unità dei moltiplicatori, quindi <math>B x\times D = 8 x\times 5 = 40</math>, che diventa 0 unità con 4 decine di riporto.▼ ; decine: somma dei prodotti diagonali, decine del primo moltiplicatore per unità del secondo e viceversa, quindi AD + BC, cioè <math>3 x\times 5 + 8 x\times 2 = 15 + 16 = 31</math>, +4 per il riporto = 35 che si scrive come 5 con 3 centinaia di riporto.~~<br/>~~▼ ▲unità : prodotto delle unità dei moltiplicatori, quindi B x D = 8 x 5 = 40, che diventa 0 unità con 4 ;centinaia: prodotto delle decine dei moltiplicatori, quindi <math>A x\times C = 3 x\times 2 = 6</math>, +3 per il riporto = 9.~~<br/>~~▼ ~~decine di riporto.<br/>~~ ▲decine: somma dei prodotti diagonali, decine del primo moltiplicatore per unità del secondo e viceversa, quindi AD + BC, cioè 3 x 5 + 8 x 2 = 15 + 16 = 31, +4 per il riporto = 35 che si scrive come 5 con 3 centinaia di riporto.<br/> ▲centinaia: prodotto delle decine dei moltiplicatori, quindi A x C = 3 x 2 = 6, +3 per il riporto = 9.<br/> La soluzione in questo esempio sarà 950. Line 97 ⟶ 92: C D = ----- (A x<math> \times </math>C) x<math> \times </math>100 + (AD + BC) x<math> \times </math>10 + (B x<math> \times </math>D). Da questo si capisce anche l'origine del nome. Line 103 ⟶ 98: == Elevare al quadrato == Questa tecnica può rilevarsi utile per numeri vicino alle potenze di 10.: #Scegliere un numero da quadrare. #Scegliere una '''''base''''', ovvero una potenza di 10 il più possibile vicina al numero. #Notare la '''differenza''' fra il numero da quadrare e la base. #'''Aggiungere''' questa differenza al numero e moltiplicare il risultato per la base. #'''Elevare al quadrato''' la differenza di prima, sommarla al numero di sopra. #Quello ottenuto è il numero al quadrato. === Esempi: ~~<br/>~~=== * Numero da quadrare: 17~~<br/>~~ # Base: 10 (<math>10^1)<br/math>) # Differenza fra 17 e 10: 7~~<br/>~~ # Aggiungere 7 a 17 (=24), moltiplicare per 10: = 240~~<br/>~~ # Elevare al quadrato 7 e sommarlo a 240: (49 + 240) = 289~~<br/>~~ Numero da quadrare: 98~~<br/>~~▼ # Base: 100 (<math>10^2)<br/math>)▼ ▲Numero da quadrare: 98<br/> # Differenza fra 98 e 100: -2~~<br/>~~▼ ▲Base: 100(10^2)<br/> # Aggiungere -2 a 98 (=96), moltiplicare per 100:<math>(96 \times 100)</math> = 9.600 ▲Differenza fra 98 e 100: -2<br/> ~~Aggiungere~~# Elevare al quadrato -2 ae ~~98(=96),~~sommarlo ~~moltiplicare per~~a ~~100~~9600: (964 x+ ~~100~~9.600) = 9.~~600<br/>~~604 ~~Elevare al quadrato -2 e sommarlo a 9600: (4 + 9.600) = 9.604<br/>~~ === Quadrati di numero con 5 come ultima cifra === Prendere il numero formato dalle cifre prima di questo ultimo 5.~~<br/>~~ * Sommargli il suo quadrato e porre 25 alla sua destra. 35^2 = ((3x3)+3)25 = 1.225 ▼ 75^2 = ((7x7)+7)25 = 5.625▼ 115^2 = ((11x11)+11)25 = 13225▼ Un altro metodo (piu' semplice) è il seguente:▼ si prende il numero delle decine e si moltiplica per il suo successivo.▼ Al risultato si aggiunge 25.▼ ▲Esempio: ==== Esempi ==== 65^2 = 1° si prende il 6 e si moltiplica per il suo successivo che è 7 ottenendo 6x7=42▼ ▲<math>35^2</math> = ((~~3x3~~3<math>\times</math>3)+3)25 = 1.225 ▲<math>75^2</math> = ((~~7x7~~7<math>\times</math>7)+7)25 = 5.625 ▲<math>115^2</math> = ((~~11x11~~11<math>\times</math>11)+11)25 = 13225 === Variante === 2° al numero 42 ottenuto si aggiunge 25 e si ottiene 4225 (che è 65^2)▼ ▲Un altro metodo (~~piu'~~più semplice) è il seguente: ▲si* Si prende il numero delle decine e si moltiplica per il suo successivo. ▲* Al risultato si aggiunge 25. ==== Esempi ==== altro esempio: 95^2 = 9x10 = 90 ; a 90 aggiungo 25 e ottengo 9025 che è 95^2▼ * <math>65^2</math> = ▲~~65^2 = 1°~~# si prende il 6 e si moltiplica per il suo successivo che è 7 ottenendo ~~6x7~~<math>6 \times 7=42</math> ▲ 2°# al numero 42 ottenuto si aggiunge 25 e si ottiene 4225 (che è <math>65^2</math>) ▲~~altro~~* Altro esempio: <math>95^2 = ~~9x10~~9 \times 10 = 90 </math>; a 90 aggiungo 25 e ottengo 9025 che è <math>95^2</math> == Arrotondare == Una delle cose più facili è vedere se ci sono numeri che possono rendere il tutto più semplice. <br/>Per esempio, dovendo svolgere 251 x<math> \times </math> 325, notiamo che il numero 251 è prossimo a 250. Quindi si può calcolare (325 x<math> \times </math> 250) + 325. Poiché 250 è 1/4 di 1.000, moltiplicare per 250 significa aggiungere tre zeri per poi dividere per 4, quindi abbiamo 325.000/4, che si può svolgere dimezzando 2 volte il numero, che diventa prima 162.500 e poi 81.250. <br/>Aggiungendo il 325 di prima, abbiamo 81.575. Questo metodo può sembrare complicato, ma con un po' di pratica è molto più semplice che quello 'classico'. == Divisioni == Ci sono molte ~~possible~~possibili tecniche, quelle di seguite indicate sono solo alcune. <br/>▼ ▲Ci sono molte possible tecniche, quelle di seguite indicate sono solo alcune. <br/> Tutti i numeri sono prodotti di numeri i primi. Se si sta effetuando una divisione, si può sfruttare questa proprietà. Per esempio 100/24 è uguale a 100 diviso (<math> 2 x\times 2 x\times 2 x\times 3</math>), è quindi si può svolgere dimezzando 100 per tre volte, per poi dividerlo per 3.<br/> Ovviamente questo significa dover fare più passaggi, ma saranno comunque più semplici.<br/> 100/2 -> 50, /2 -> 25, /2 -> 12.5, /3 = ~4.16 Line 162 ⟶ 154: Un altra tecnica, quando devi prima moltiplicare e poi dividere, svolgi prima la divisione, magari scomponendola in più operazioni, e poi moltiplicare.<br/> In questo modo eviti che i numeri diventino troppo grandi e quindi difficili da gestire.<br/> Per esempio, dovendo svolgere <math>(18 *\times 115)/15</math>, è molto più comodo dividere 115 per 5(=23) e 18 per 3(=6).<br/> Dividere entrambi i moltiplicandi per 5 e 3 è valido, perché 5 x<math> \times </math> 3 = 15.<br/> A questo punto, moltiplicando 23 x<math> \times </math> 6, otteniamo 138, che è il quoziente di questa divisione.<br/> == Stime veloci == Il metodo migliore per fare una stima mentale veloce di un calcolo e arrotondare a una o due cifre significative per poi utilizzare le operazioni tipiche.<br/> Quindi 1.241 x<math> \times </math> 15.645 vale, in maniera approsimativa, come 1.200 x<math> \times </math> 16.000=19.200.000, che è un valore ragionevolmente vicino al prodotto corretto, 19.415.445. Un metodo ancora più performante, consiste nell'utilizzare i logaritmi, che trasformano moltiplicazioni in addizioni, divisioni in sottrazioni, potenze e radici in moltiplicazioni e divisioni. Tuttavia tale tecnica richiede la conoscenza delle tavole logaritmiche e dei relativi metodi.. Line 177 ⟶ 168: Una delle tecniche più utili è la memorizzazione.<br/> Può sembrare una perdita di tempo memorizzare alcuni valori matematici, come quadrati e cubi perfetti, fattorizzazioni prime o equivalente decimali di frazioni(come 1/7 = 0,1428...), ma questo può aumentare di molto la propria velocità di calcolo.<br/> Per esempio, risolvere 1024/32 è molto facile se si sa che è la stessa cosa di <math> \frac {2^{10/}} {2^5}</math>, che per le proprietà delle potenze ci da <math>2^5 = 32.<br/math>. Il modo migliore per memorizzare questi valori è usarli costantemente - quindi evidente la pratica e l'esercizio sono molto importanti. [[Categoria:Calcolo mentale\| ]] {{avanzamento\|50100%}}▼ ▲{{avanzamento\|50%}} [[en:Mental Math]]

Calcolo mentale: differenze tra le versioni