Propulsione Aerea/Capitolo V°

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Processi di compressione ed espansione nelle macchine alternativeModifica

E' questo il caso tipico delle macchine motrici ed operatrici a vapore ed a gas alternative. Supponiamo di avere due serbatoi con gas a pressione p1 e p2 che possono essere messi in comunicazione col cilindro a mezzo di valvole; ammettiamo inoltre che non vi sia spazio nocivo cioè che a punto morto superiore lo stantuffo combaci col fondo del cilindro (/fig.16)

 

Nella fase di andata il cilindro comunica col serbatoio a pressione p1 per una frazione della sua corsa (tratto AB); chiusa la valvola di ammissione segue la trasformazione da B a C sino al punto morto inferiore; l'andamento crescente della pressione con il crescere del volume specifico a valvole chiuse è giustificato dall'assunzione che lungo BC sia somministrato al gas, con modalità qualsiasi, una certa quantità di calore Q; questa assunzione è fatta per avere un caso più generale. Per tutta la corsa di ritorno CD il cilindro viene posto in comunicazione col serbatoio a pressione p2 mediante l'apertura della relativa valvola.
Nel caso trattato non si è in presenza di un solo sistema ma di tre: gas nel sebatoio a pressione p1 e nel cilindro; gas racchiuso nel cilindro; gan nel cilindro e nel sebatoio a pressione p2. In particolare uno dei serbatoi può essere l'atmosfera.
Gli scambi di calore e lavoro sono sempre di facile definizione quando sono note le caratteristiche dei tre sistemi; l'energia cinetica delle masse in giuoco è trascurabile. Ordinariamente i due sebatoi sono di volume talmente grande rispetto a quello del cilindro da poter ammettere invariata la pressione pei tratti AB e CD.
L'unità di peso del gas entrando nel cilindro comunica quindi all'esterno il lavoro p1 v1 (area OABB' ), cioè perde l'energia p1v1; lungo la trasformazione BC il lavoro è dato da

 

mentre lungo CD dall'esterno viene comunicato al gas il lavoro

 .

Lungo la trasformazione BC a valvole chiuse, poiché la massa del gas non varia, è valida la relazione 13'

 .

Ne segue:

 

Q è la quantità di calore fornita durante la trasformazione.
Poiché la diminuizione dell'energia del gas deve essedre uguale al lavoro comunicato all'esterno e viceversa, assunto positivo il lavoro comunicato all'esterno, si ha:

 

ricordando che

 

, a meno di una costante, è l'entalpia i, si ottiene più semplicemente:

 .

Se L risulta positivo si tratta di lavoro fornito dal gas all'esterno e viceversa. Dalls (27) si deduce che in generale la differenza tra il calore fornito ed il lavoro comunicato all'esterno deve essere uguale all'aumento di entalpia.
Generalmente nei processi di compressione ed espansione non vi sono sensibili scambi di calore; la rappresentazione sul piano p, v in questo caso è quella segnata nelle figure 17a, b.

figura 17a
figura 17b

Si noti la differenza tra questo lavoro totale (area ABCD) e quello corrispondente alla sola e vera trasformazione BC (area B'BCC') data da

 .

Risulta quindi che nei processi avanti descritti l'entalgia gioca il ruolo dell'energia interna per le sole trasformazioni BC. A parità di condizioni iniziali e finali il rapporto tra i due lavori è

 

ammesso che la trasformazione bc sia adiabatica-isoentyropica.
Spesso si legge o si sente ripetere che il gas ha percorso il ciclo ABCDA; errore concettuale molto grave; non si può parlare in questo caso di ciclo; tutto l'insieme è una successione di fatti che non ha niente in comune coi cicli veri e propri che si riferiscono, tra l'altro, sempre ad una massa costante del fluido interessato.
La (27) in termini differenziali diviene:

 

e poiché per la (13')

 

si ricava in generale dL=-v dp. Se non vi è scambio di calore:

 

SDi è detto cheil lavoro in questo processo è rappresentato in valore e segno dall'area ABCD; la (28') conferma questo fatto poiché l'area elementare è rappresentata proprio dal tettangolo di base dp ed altezza v.
Concludendo resta quindi stabilito che nei processi di compressione ed espansione del tipo descritto, senza scambio di calore, il lavoro in valore e segno è dato dalla differenza di entalpia tra lo stato iniziale e finale del gas.

Processi di compressione ed espansione nelle macchine rotativeModifica

Si ammette il processo a regime; si ammette cioè che il gas possa variare di stato in ogni punto del sistema ma non nel tempo.
Questo è il caso tipico delle macchinne operatrici rotative (compressori assiali , centrifughi, misti, vengtilatori, soffianti ecc.) e delle macchine motrici rotative (turbine, molinelli, ruote eoliche, ecc.).
Riferiamoci per esempio ad una girante di qualsiasi tipo (per esempio di tipo centifugo in fig.18) e supponiamo che la velocità del gas sia trascurabile entro i condotti di ingresso e di uscita; da questa ipotesi restrittiva ci libereremo in seguito.

 

Consideriamo due sezioni del condotto: una nel condotto di ingresso 1 e l'altro 2 nel condotto d'uscita.
L'unità di peso del gas nella sezione 1 fa il lavoro p1 v1; entro il dispositivo avviene la trasformazione che porta lo stato fisico da 1 a 2; all'uscta il gas dovendo vincere la pressione p2 compie il lavoro p2 v2.
Con le convenzioni fatte al numero precedente si ricava:

 

identica alla (26).
Vediamo che nulla è cambiato rispetto alle macchine alternative; la sola differenza, inessenziale dal punto di vista del processo, è nella modalità di rinnovo del gas che ora è continuo; anche per questo caso non si può parlare di ciclo ma di successione di fattifisici. Tutte le considerazioni precedentemente svolte sono valide per le macchine rotative.



Processi di compressione ed espansione nei condottiModifica

Consideriamo il condotto di fig.19; in questo caso non ci sono scambi di lavoro con l'esterno mentre per generalità supporremo presenti scambi di calore. Il lavoro delle pressioni si manifesta in questo caso come variazione dell'energia cinetica. Per la conservazione dell'energia si ha dunque

 

Poiché per la (13')

 

si ottiene

 .

Se Q=0

 

relazione importante che esprime la conservazione dell'energia nel moto dei fluidi compressibili; se il fluido è incompressibile (cioè dv=0) la (29), poiché

 

con ρ densità, diviene

 

notissima relazione dovuta a Daniele Bernouilli.
Tra due sezioni molto vicine la (30) diviene

 

simile alla (28); per la (13') si ha poi più semplicemente

 

analoga alla (28'); se non vi sono scambi di calore si ha ancora

 .

Nel moto nei condootti quando non vi sono scambi di calore l'aumento dell'energia cinetica è uguale alla diminuizione dell'entalpia e viceversa.
Della (30') può darsi altra diretta dimostazione; si consideri la massa dm tras due sezioni molto vicine di un condotto (fig.20); dm=Ω ρ dx; rimoviamo i vincoli di questo sistema elementare sostituendo al confine di esso la distribuzione di pressioni dovute ai vincoli rimossi; si ha allora la distribuzione di pressioni uniformi p sulla faccia anteriore nel senso del moto, la distribuzione p+dp in senso contrario sulla faccia posteriore e la pressione

 

esercitata dalle pareti del condotto; la forza risultante dF nel senso del moto è

 
figura 20

trascurando le quantità del secondo ordine, si ha dF=-Ω dp; l'accelerazione a cui è sottoposta la massa elementare è

 

si deduce dalla legge fondamentale della dinamica (forza=massa per accelerazione)

 

poiché

 

si ottiene

 

Se alla stessa massa precedente, considerata a se, mentre in movimento è comunicato il calore dQ si ha

 

cioè la solita

 

La (32) condiziona il moto del centrto di gravità della massa, la precedente condiziona il moto d'insieme delle molecole rispetto al centro di gravità.
Sommandole si ricava:

 

coincidente con la (30').
Ricordando la (6)

 

e la (15)

 

si ricava

 

e differenziando

 .

La precedente

 

si può anche scrivere

 .

Se dQ=0 si ha la relazione

 

con Vs la velocità del suono per le condizioni in atto del gas (velocità locale del suono).
Integrando si trova

 


Caso generaleModifica

Supponiamo ora il caso più generale possibile. Nei casi particolari avanti trattati si è supposto che non vi sieno perdite interne al sistema di alcun genere per vortici, attrito, onde d'urto, ecc. e che non vi sieno variazioni di energia da altezza del fluido (energia potenziale dovuta alla gravità).
Indicando condLp le perdite passive e con dZ la variazione dell' energia di altezza l'equazione in termini differenziali della conservazione dell'energia nel caso più generale, diviene, dopo quanto esposto

 .

Questa relazione importantissima e che racchiude ogni caso precedentemente trattao sarà largamente impiegato in seguito nello studio effettivo delle macchine per la propulsione aerea.
Per i gas usualmente può trascurarsi l'effetto di dZ sempre molto piccolo rispetto agli altri. E' bene fare presente esplicitamente che il lavoro corrispondente alle perdite passive dLp non è perduto ma rimane in seno al fluido sotto forma di calore; in realtà quindi il dQ della (34) è somma del dQestscambiato con l'esterno, e del dQ=J dLp.
Quindi:

 

quindi la (34) può scriversi:

 

Se dQest=0

 .

In questo caso si è in presenza di un processo adiabatico ma non isoentropico; l'equazione dell'energia rimane la stessa nei due casi (l'energia non può perdersi) ma i parametri fisici seguono leggi diverse dipendenti dalle modalità delle perdite interne; in un caso l'entropia non varia, nell'altro cresce pur conservandosi l'energia totale in gioco.
La differenza compare nell'equazione in termini finiti perché quando vi sono perdite la differenza di entalpia e di energia cinetica si riducono rispetto a quelle disponibili nel processo isoentropico; così pure il lavoro.

Entropia e entalpiaModifica

In tutti i processi avanti descritti, con rinnovo periodico o continuo del gas, si è visto che gioca un ruolo fondamentale la funzione di stato entalpia.
Si è visto che nei processi senza scambio di calore e isoentropici la diminuizione di entalpia è uguale al lav oro ceduto all'esterno od all'energia cinetica conferita al gas o ad entrambi e viceversa.
Si è visto pure che nei processi non isoentropici queste modalitàrimangono con le minorazioni definibili di volta in voltae dipendenti dal processo effettivo.
Nello studio delle macchine con processi aperti (turbine, compressori, rattori, autoreattori, ecc.) sono utilissimi quindi le rappresentazioni sul piano entalpie-entropie.
Se il calore specificoCp fosse costante , l'entalpia sarebbe proporzionale alla temperatura assoluta e quindi, salvo la scala delle ordinsate, il piano i-S non differirebbe dal pian T-S. Poiché Cp varia con T ne viene che i due piani con le relative linee di riferimento differiscono alquanto , sebbene qualitativamente le linee di trasformazione abbiano andamenti analoghi.
I diagrammi entropie-entalpie sono anche detti di Mollier in onore del fisico che per primo li introdusse nella tecnica. Il vantaggio di questi diagrammi nelle calcolazioni è evidente poiché le grandezze in gioco sono rappresentate da segmenti di immediata determinazione invece che da aree così come avviene nei piani p, v e T, S.
Sul piano i, S completo sono tracciate le linee p=cost , v=cost e T=cost.
Poiché

 

per i processi a volume costante si ha

 

e per quelli a pressione costante

 .

Integrando e passando dai log. naturali ai numeri si trova rispettivamente poiché:

 
 

T0 ed i0 costanti dell'integrazione, sono le condizioni iniziali.
Supposti quindi i calori specifici costanti le linee v=cost e p=cost sono esponenziali e poiché Cv<Cp le linee v=cost crescono più rapidamente di quelle p=cost.
Poiché Cv e Cp sono variabili e poiché non si può prescindere alle alte temperature dalla dissociazione le linee effettive pur mantenendo lo stesso andamento sono leggermente diverse da quelle avanti definite con Cv e Cp costanti.
Comunque è possibile costruire i diagrammi i, S per ogni tipo di gas e relativi miscugli.

Processi adiabatici ed entropia costante ed entalpia costante nei condottiModifica

Si è detto del processo adiabatico ed isoentropico, cioè del processo ideale senza scambi di calore; in esso gli aumenti di entalpia corrispondono a diminuzione di energia cinetica e viceversa.
Supponiamo ora di avere un condotto con ostruzioni interne comunque realizzate (caso pratico classico le tenute a labirinto per contenere le fughe di vapore o di gas nelle macchine termiche rotative).
Le ostruzioni hanno lo scopo di convertire gli incrementi di energia in calore mediante esaltazione della dissipazione interna dovuta alla viscosità del fluido; al limite si può pensare durante il processo dv≅0; poiché dQest=0, dZ=0, dL=0(non vi è cessione di lavoro all'esterno) si ricava di=0.
Il processo avviene ad entalpia costante; il gas, che nell'espansione tende a raffreddarsi, viene riscaldato dall'energia cinetica dissipata a mano a mano in calore; non vi è perdita di energia, ovviamente, ma degradazione totale col massimo possibile di entropia; il gas si espande ed il volume specifico aumenta; se si assume Cp' costante durante il processo si ha T costante, da cui segue p v=cost; questo processo porta il gas alla pressione esterna senza variazioni di temperatura.
È bene avvertire esplicitamente di non fare confusione tra questo particolare processo e quello isotermico studiato a suo tempo per il quale si ha cessione di lavoro all'esterno a spese del calore scambiato (Cap. III); il processo avantiscritto è adiabatico.
In fig. 21 sono riportati i due casi limite.

figura 21

Poiché anche gli ugelli, liberi da ostruzioni e lisci, presentano un minimo di dissipazione per il frenamento della corrente dovuto allo strato limite, l'espansione non sarà mai rigorosamente ad entropia costante; lo stato finale reale del gas sarà caratterizzato da minore entalpia e maggiore entropia.
I processi a degradazione totale nella tecnica sono chiamati anche processi di strozzamento perché si presentano per brische riduzioni delle sezioni di efflusso.