Macroeconomia/Rapporto Debito-PIL

Trattazione matematica del rapporto debito/PILModifica

La seguente equazione alle differenze relativa al rapporto debito/PIL mostra come il valore nominale del debito pubblico al tempo t sia uguale al valore nominale del debito pubblico dell'anno precedente moltiplicato per (1 + i), dove i è il tasso di interesse nominale dei titoli di stato più il disavanzo primario nell'anno considerato (pari alla differenza tra le uscite e le entrate statali, esclusa la spesa per interessi):[1],[2],[3]

Dividendo l'equazione per il PIL e ponendo che l'incremento del PIL dal tempo t-1 al tempo t sia pari a 1+n (essendo n il tasso di crescita del PIL nominale), si ottiene l'equazione alle differenze :


Ora, assumendo costante il rapporto tra disavanzo primario e PIL, si ha:



Calcolando si ottiene:



Calcolando si ottiene:



Calcolando si ottiene:



Calcolando si ottiene:



Posto e posto:



si ha:



Moltiplicando per -K si ha:



Sommando membro a membro le due equazioni si ottiene:


da cui si ricava:



Pertanto si ha:



che risulta uguale a:



Ottenuta la successione è possibile sapere quale sarà il rapporto debito/PIL dopo 1 anno, 2 anni, ..., t anni conoscendo , i, n e d.


Per valutare in quali casi il debito pubblico in rapporto al PIL è crescente o decrescente, considerato che la successione è definita negli anni 1, 2, .., t se si considera la funzione corrispondente definita su tutto il tempo e non relativamente ai soli anni essendo tale funziona continua su T se ne può calcolare la derivata, laddove tale funzione sarà crescente o decrescente su tutto T la relativa successione sarà crescente o decrescente relativamente ai soli anni 1, 2, .., t che rappresentano un sottoinsieme di T.


Pertanto la derivata risulta uguale a:



Primo caso: (d>0 e K>1 e quindi n<i)Modifica

e quindi .


Se le uscite dello Stato superano le entrate e il tasso di incremento del PIL è minore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:


e quindi la derivata è sempre positiva per cui è sempre crescente e risulta



Secondo caso: (d>0 e K<1 e quindi n>i)Modifica

e quindi .


Se le uscite dello Stato superano le entrate ma il tasso di incremento del PIL è maggiore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:


e


quindi:


  • se la derivata è positiva (ovvero per ) il rapporto debito/PIL cresce


  • se la derivata è negativa (ovvero per ) il rapporto debito/PIL decresce.


Il termine è uno stato stazionario, per cui affinché il debito/PIL decresca è necessario che il debito/PIL iniziale sia maggiore dello stato stazionario e ciò accade se n è sufficientemente grande rispetto a i e se il disavanzo primario è sufficientemente piccolo, in modo che il debito iniziale sia maggiore dello stato stazionario.


Inoltre essendo , il rapporto debito/PIL converge verso lo stato stazionario (o crescendo o decrescendo).


Terzo caso: (d<0 e K>1 e quindi n<i)Modifica

e quindi .


Se le entrate dello Stato superano le uscite e se il tasso di incremento del PIL è minore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:


e


quindi


  • se la derivata è positiva (ovvero per ), il rapporto debito/PIL cresce


  • se la derivata è negativa (ovvero per ), il rapporto debito/PIL decresce.


Il termine è uno stato stazionario, per cui, affinché il rapporto debito/PIL decresca, è necessario che il rapporto debito/PIL iniziale sia minore dello stato stazionario e ciò accade se n è quasi uguale a i e se l'avanzo primario è sufficientemente grande, in modo che il debito iniziale sia minore dello stato stazionario.


Inoltre quando il rapporto debito/PIL cresce, mentre si ha che quando il rapporto debito/PIL decresce; infatti calcolando la forma indeterminata del tipo si ottiene come risultato , per cui in tal caso dopo un certo tempo il rapporto debito/PIL si annulla.


Quarto caso: (d<0 e K<1 e quindi n>i)Modifica

e e quindi .


Se le entrate dello Stato superano le uscite e il tasso di incremento del PIL è maggiore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:


e


quindi la derivata è sempre negativa, per cui è sempre decrescente e risulta:



per cui dopo un certo periodo di tempo il rapporto debito/PIL si annulla.


NoteModifica

  1. Macroeconomia. Roger Farmer. McGraw-Hill. 2000. ISBN 9788838607455. pag. 269. Edizione italiana a cura di Bruno Chiarini
  2. Macroeconomia. Roger Farmer. recensione.
  3. Macroeconomia. Lucidi (formato Powerpoint).