Trattazione matematica del rapporto debito/PILmodifica
La seguente equazione alle differenze relativa al rapporto debito/PIL mostra come il valore nominale del debito pubblico al tempo t sia uguale al valore nominale del debito pubblico dell'anno precedente moltiplicato per (1 + i), dove i è il tasso di interesse nominale dei titoli di stato più il disavanzo primario nell'anno considerato (pari alla differenza tra le uscite e le entrate statali, esclusa la spesa per interessi):[1],[2],[3]
Debito pubblico in percentuale del PIL, evoluzione dal 1995 per Stati Uniti, Giappone e maggiori economie europee. Dati OECD.
Dividendo l'equazione per il PIL e ponendo che l'incremento del PIL dal tempo t-1 al tempo t sia pari a 1+n (essendo n il tasso di crescita del PIL nominale), si ottiene l'equazione alle differenze:
Ora, assumendo costante il rapporto tra disavanzo primario e PIL, si ha:
Calcolando si ottiene:
Calcolando si ottiene:
Calcolando si ottiene:
Calcolando si ottiene:
Posto e posto:
si ha:
Moltiplicando per -K si ha:
Sommando membro a membro le due equazioni si ottiene:
da cui si ricava:
Pertanto si ha:
che risulta uguale a:
Ottenuta la successione è possibile sapere quale sarà il rapporto debito/PIL dopo 1 anno, 2 anni, ..., t anni conoscendo , i, n e d.
Per valutare in quali casi il debito pubblico in rapporto al PIL è crescente o decrescente, considerato che la successione è definita negli anni 1, 2, .., t se si considera la funzione corrispondente definita su tutto il tempo e non relativamente ai soli anni essendo tale funziona continua su T se ne può calcolare la derivata, laddove tale funzione sarà crescente o decrescente su tutto T la relativa successione sarà crescente o decrescente relativamente ai soli anni 1, 2, .., t che rappresentano un sottoinsieme di T.
Se le uscite dello Stato superano le entrate ma il tasso di incremento del PIL è maggiore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:
e
quindi:
se la derivata è positiva (ovvero per ) il rapporto debito/PIL cresce
se la derivata è negativa (ovvero per ) il rapporto debito/PIL decresce.
Il termine è uno stato stazionario, per cui affinché il debito/PIL decresca è necessario che il debito/PIL iniziale sia maggiore dello stato stazionario e ciò accade se n è sufficientemente grande rispetto a i e se il disavanzo primario è sufficientemente piccolo, in modo che il debito iniziale sia maggiore dello stato stazionario.
Inoltre essendo , il rapporto debito/PIL converge verso lo stato stazionario (o crescendo o decrescendo).
Se le entrate dello Stato superano le uscite e se il tasso di incremento del PIL è minore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:
e
quindi
se la derivata è positiva (ovvero per ), il rapporto debito/PIL cresce
se la derivata è negativa (ovvero per ), il rapporto debito/PIL decresce.
Il termine è uno stato stazionario, per cui, affinché il rapporto debito/PIL decresca, è necessario che il rapporto debito/PIL iniziale sia minore dello stato stazionario e ciò accade se n è quasi uguale a i e se l'avanzo primario è sufficientemente grande, in modo che il debito iniziale sia minore dello stato stazionario.
Inoltre quando il rapporto debito/PIL cresce, mentre si ha che quando il rapporto debito/PIL decresce; infatti calcolando la forma indeterminata del tipo si ottiene come risultato , per cui in tal caso dopo un certo tempo il rapporto debito/PIL si annulla.