Trattazione matematica del rapporto debito/PILModifica
La seguente equazione alle differenze relativa al rapporto debito/PIL mostra come il valore nominale del debito pubblico al tempo t sia uguale al valore nominale del debito pubblico dell'anno precedente moltiplicato per (1 + i), dove i è il tasso di interesse nominale dei titoli di stato più il disavanzo primario nell'anno considerato (pari alla differenza tra le uscite e le entrate statali, esclusa la spesa per interessi):[1],[2],[3]

Dividendo l'equazione per il PIL
e ponendo che l'incremento del PIL dal tempo t-1 al tempo t sia pari a 1+n (essendo n il tasso di crescita del PIL nominale), si ottiene l'equazione alle differenze
:


Ora, assumendo costante il rapporto tra disavanzo primario e PIL, si ha:

Calcolando
si ottiene:

Calcolando
si ottiene:

Calcolando
si ottiene:

Calcolando
si ottiene:

Posto
e posto:

si ha:

Moltiplicando
per -K si ha:

Sommando membro a membro le due equazioni si ottiene:
da cui si ricava:

Pertanto si ha:

che risulta uguale a:
![{\displaystyle b_{t}=\left({\dfrac {1+i}{1+n}}\right)^{t}\left[b_{0}-d\left({\dfrac {1+n}{n-i}}\right)\right]+d\left({\dfrac {1+n}{n-i}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fb7cabb302553ce3c093ae85400f15ab77809c0)
Ottenuta la successione
è possibile sapere quale sarà il rapporto debito/PIL dopo 1 anno, 2 anni, ..., t anni conoscendo
, i, n e d.
Per valutare in quali casi il debito pubblico in rapporto al PIL è crescente o decrescente, considerato che la successione
è definita negli anni 1, 2, .., t se si considera la funzione corrispondente definita su tutto il tempo e non relativamente ai soli anni essendo tale funziona continua su T se ne può calcolare la derivata, laddove tale funzione sarà crescente o decrescente su tutto T la relativa successione sarà crescente o decrescente relativamente ai soli anni 1, 2, .., t che rappresentano un sottoinsieme di T.
Pertanto la derivata risulta uguale a:

Primo caso: (d>0 e K>1 e quindi n<i)Modifica

e quindi

.
Se le uscite dello Stato superano le entrate e il tasso di incremento del PIL è minore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:
e
quindi la derivata è sempre positiva per cui
è sempre crescente e risulta

Secondo caso: (d>0 e K<1 e quindi n>i)Modifica

e quindi

.
Se le uscite dello Stato superano le entrate ma il tasso di incremento del PIL è maggiore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:
e 
quindi:
- se la derivata è positiva (ovvero per
) il rapporto debito/PIL cresce
- se la derivata è negativa (ovvero per
) il rapporto debito/PIL decresce.
Il termine
è uno stato stazionario, per cui affinché il debito/PIL decresca è necessario che il debito/PIL iniziale sia maggiore dello stato stazionario e ciò accade se n è sufficientemente grande rispetto a i e se il disavanzo primario è sufficientemente piccolo, in modo che il debito iniziale sia maggiore dello stato stazionario.
Inoltre essendo
, il rapporto debito/PIL converge verso lo stato stazionario (o crescendo o decrescendo).
Terzo caso: (d<0 e K>1 e quindi n<i)Modifica

e quindi

.
Se le entrate dello Stato superano le uscite e se il tasso di incremento del PIL è minore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:
e 
quindi
- se la derivata è positiva (ovvero per
), il rapporto debito/PIL cresce
- se la derivata è negativa (ovvero per
), il rapporto debito/PIL decresce.
Il termine
è uno stato stazionario, per cui, affinché il rapporto debito/PIL decresca, è necessario che il rapporto debito/PIL iniziale sia minore dello stato stazionario e ciò accade se n è quasi uguale a i e se l'avanzo primario è sufficientemente grande, in modo che il debito iniziale sia minore dello stato stazionario.
Inoltre
quando il rapporto debito/PIL cresce, mentre si ha che
quando il rapporto debito/PIL decresce; infatti calcolando la forma indeterminata del tipo
si ottiene come risultato
, per cui in tal caso dopo un certo tempo il rapporto debito/PIL si annulla.
Quarto caso: (d<0 e K<1 e quindi n>i)Modifica

e

e quindi

.
Se le entrate dello Stato superano le uscite e il tasso di incremento del PIL è maggiore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:
e
quindi la derivata è sempre negativa, per cui
è sempre decrescente e risulta:
per cui dopo un certo periodo di tempo il rapporto debito/PIL si annulla.