Macroeconomia/Rapporto Debito-PIL

Trattazione matematica del rapporto debito/PIL

La seguente equazione alle differenze relativa al rapporto debito/PIL mostra come il valore nominale del debito pubblico al tempo t sia uguale al valore nominale del debito pubblico dell'anno precedente moltiplicato per (1 + i), dove i è il tasso di interesse nominale dei titoli di stato più il disavanzo primario nell'anno considerato (pari alla differenza tra le uscite e le entrate statali, esclusa la spesa per interessi):,,

$\ B_{t}=B_{t-1}(1+i)+D_{t}$

Dividendo l'equazione per il PIL ${Y_{t}}$ e ponendo che l'incremento del PIL dal tempo t-1 al tempo t sia pari a 1+n (essendo n il tasso di crescita del PIL nominale), si ottiene l'equazione alle differenze $b_{t}$:

${\frac {B_{t}}{Y_{t}}}={\frac {B_{t-1}}{Y_{t}}}(1+i)+{\frac {D_{t}}{Y_{t}}}$

${\frac {B_{t}}{Y_{t}}}={\frac {\frac {B_{t-1}}{Y_{t-1}}}{\frac {Y_{t}}{Y_{t-1}}}}(1+i)+{\frac {D_{t}}{Y_{t}}}$

Ora, assumendo costante il rapporto tra disavanzo primario e PIL, si ha:

$b_{t}=b_{t-1}{\frac {1+i}{1+n}}+d$

Calcolando $b_{1}$ si ottiene:

$b_{1}=b_{0}{\frac {1+i}{1+n}}+d$

Calcolando $b_{2}$ si ottiene:

$b_{2}=b_{1}{\frac {1+i}{1+n}}+d=b_{0}\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{2}+\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)d+d$

Calcolando $b_{3}$ si ottiene:

$b_{3}=b_{2}{\frac {1+i}{1+n}}+d=b_{0}\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{3}+\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{2}d+\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)d+d$

Calcolando $b_{t}$ si ottiene:

$b_{t}=b_{0}\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{t}+\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{t-1}d+....+\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{3}d+\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{2}d+\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)d+d$

Posto $K:=\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)$ e posto:

$S_{n}:=\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{t-1}d+....+\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{3}d+\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{2}d+\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)d+d$

si ha:

$\ S_{n}:=K^{t-1}d+....+K^{3}d+K^{2}d+Kd+d$

Moltiplicando $S_{n}$ per -K si ha:

$\ -S_{n}K=-K^{t}d-....-K^{4}d-K^{3}d-K^{2}d-dK$

Sommando membro a membro le due equazioni si ottiene:

$\ S_{n}-S_{n}K=-K^{t}d+d$ da cui si ricava:

$\ S_{n}={\frac {1-K^{t}}{1-K}}d$

Pertanto si ha:

$\ b_{t}=K^{t}b_{0}+{\dfrac {1-K^{t}}{1-K}}d=\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{t}b_{0}+{\dfrac {\left(1-\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{t}\right)}{1-{\frac {1+i}{1+n}}}}d$

che risulta uguale a:

$b_{t}=\left({\dfrac {1+i}{1+n}}\right)^{t}\left[b_{0}-d\left({\dfrac {1+n}{n-i}}\right)\right]+d\left({\dfrac {1+n}{n-i}}\right)$

Ottenuta la successione $b_{t}$ è possibile sapere quale sarà il rapporto debito/PIL dopo 1 anno, 2 anni, ..., t anni conoscendo $b_{0}$, i, n e d.

Per valutare in quali casi il debito pubblico in rapporto al PIL è crescente o decrescente, considerato che la successione $b_{t}$ è definita negli anni 1, 2, .., t se si considera la funzione corrispondente definita su tutto il tempo e non relativamente ai soli anni essendo tale funziona continua su T se ne può calcolare la derivata, laddove tale funzione sarà crescente o decrescente su tutto T la relativa successione sarà crescente o decrescente relativamente ai soli anni 1, 2, .., t che rappresentano un sottoinsieme di T.

Pertanto la derivata risulta uguale a:

${\dfrac {{\textrm {d}}b(t)}{{\textrm {d}}t}}=K^{t}log(K)\left(b_{0}-{\dfrac {d}{1-K}}\right)$

Primo caso: (d>0 e K>1 e quindi n<i)

$d>0eK>1$ e quindi $n<i$.

Se le uscite dello Stato superano le entrate e il tasso di incremento del PIL è minore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:

${\dfrac {d}{1-K}}<0$ e $log(K)>0$ quindi la derivata è sempre positiva per cui $b_{t}$ è sempre crescente e risulta

$\lim _{t\to +\infty }b_{t}=+\infty$

Secondo caso: (d>0 e K<1 e quindi n>i)

$d>0eK<1$ e quindi $n>i$.

Se le uscite dello Stato superano le entrate ma il tasso di incremento del PIL è maggiore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:

${\dfrac {d}{1-K}}>0$ e $log(K)<0$

quindi:

• se la derivata è positiva (ovvero per $b_{0}<{\dfrac {d}{1-K}}$) il rapporto debito/PIL cresce

• se la derivata è negativa (ovvero per $b_{0}>{\dfrac {d}{1-K}}$) il rapporto debito/PIL decresce.

Il termine ${\dfrac {d}{1-K}}={\dfrac {d(1+n)}{n-i}}$ è uno stato stazionario, per cui affinché il debito/PIL decresca è necessario che il debito/PIL iniziale sia maggiore dello stato stazionario e ciò accade se n è sufficientemente grande rispetto a i e se il disavanzo primario è sufficientemente piccolo, in modo che il debito iniziale sia maggiore dello stato stazionario.

Inoltre essendo $\lim _{t\to +\infty }{b_{t}}={\dfrac {d}{1-K}}$, il rapporto debito/PIL converge verso lo stato stazionario (o crescendo o decrescendo).

Terzo caso: (d<0 e K>1 e quindi n<i)

$d<0eK>1$ e quindi $n<i$.

Se le entrate dello Stato superano le uscite e se il tasso di incremento del PIL è minore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:

${\dfrac {d}{1-K}}>0$ e $log(K)>0$

quindi

• se la derivata è positiva (ovvero per $b_{0}>{\dfrac {d}{1-K}}$), il rapporto debito/PIL cresce

• se la derivata è negativa (ovvero per $b_{0}<{\dfrac {d}{1-K}}$), il rapporto debito/PIL decresce.

Il termine ${\dfrac {d}{1-K}}={\dfrac {d(1+n)}{n-i}}$ è uno stato stazionario, per cui, affinché il rapporto debito/PIL decresca, è necessario che il rapporto debito/PIL iniziale sia minore dello stato stazionario e ciò accade se n è quasi uguale a i e se l'avanzo primario è sufficientemente grande, in modo che il debito iniziale sia minore dello stato stazionario.

Inoltre $\lim _{t\to +\infty }{b_{t}}=+\infty$ quando il rapporto debito/PIL cresce, mentre si ha che $\lim _{t\to +\infty }{b_{t}}=-\infty$ quando il rapporto debito/PIL decresce; infatti calcolando la forma indeterminata del tipo $\infty -\infty$ si ottiene come risultato $-\infty$, per cui in tal caso dopo un certo tempo il rapporto debito/PIL si annulla.

Quarto caso: (d<0 e K<1 e quindi n>i)

$d<0$ e $K<1$ e quindi $n<i$.

Se le entrate dello Stato superano le uscite e il tasso di incremento del PIL è maggiore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:

${\dfrac {d}{1-K}}<0$ e $log(K)<0$

quindi la derivata è sempre negativa, per cui $b_{t}$ è sempre decrescente e risulta:

$\lim _{t\to +\infty }b_{t}={\dfrac {d}{1-K}}$

per cui dopo un certo periodo di tempo il rapporto debito/PIL si annulla.