Informatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate/Esempio Lancio del Peso

Il mortaio da guerra

Il mortaio è un pezzo di artiglieria impiegato per lanciare bombe a bassa velocità e per colpire obbiettivi che non possono essere raggiunti con un tiro diretto. E' caratterizzato da un'angolazione della canna sempre superiore ai 45°, che determina un tiro curvo, e dalla lunghezza della canna, che solitamente è inferiore a 15 volte il calibro.
E' composto essenzialmente da una piastra di supporto e da una canna, ed è utilizzato come supporto di fuoco dalle unità di fanteria.

Note storiche

Nel XIV secolo, con la scoperta della polvere da sparo, comparvero le prime armi da fuoco. Esse venivano principalmente utilizzate durante gli assedi a piazzeforti e castelli, e richiedevano dunque un tiro molto curvo. Per far fronte a questo problema, gli artigiani del tempo costruirono armi da fuoco con canne molto corte e molto inclinate: in questo modo, lanciando i proiettili a bassa velocità, sarebbe stato possibile farli ricadere verticalmente dopo aver raggiunto l'apice della loro traiettoria.
Le canne venivano costruite in bronzo e ricordavano un mortaio, utensile usato per sminuzzare varie materie con un pestello, che infatti diede il nome a quest'arma da fuoco. Nel XIX secolo la struttura del mortaio cambiò e migliorò: le canne venivano forate tramite trapanatura e le loro pareti erano più spesse e permettevano il lancio di proiettili più grandi. Nel XX secolo, durante la Prima Guerra Mondiale, Sir Wilfred Stokes realizzò un mortaio con una canna più corta e più leggera, che poggiava direttamente sul terreno. I tedeschi costruirono invece il minenwerfer (="lanciatore di mine"), di dimensioni più contenute.
Il mortaio venne usato da tutti gli eserciti della Seconda Guerra mondiale, seguendo le modalità utilizzate ancora oggi.

Lancio di un proiettile

Immaginiamo di utilizzare il mortaio per lanciare un proiettile. L'arma avrà una certa angolazione (superiore ai 45°, come detto nell'introduzione) e da essa dipenderà la gittata del proiettile.
La forza $F$ con cui il proiettile viene lanciato ha una componente verticale $F_{y}$ e una componente orizzontale $F_{x}$; allo stesso modo, anche la velocita $v$ del proiettile avrà due componenti $v_{y0}$ e $v_{x0}$.
Vediamo ora come calcolare queste componenti:

$F_{x}=F*cos\alpha$

componente orizzontale della forza applicata

$F_{y}=F*sin\alpha$

componente verticale della forza applicata

Sappiamo che $F=m*a$, dove $m$ è la massa del proiettile e $a$ è l'accelerazione subita da esso.
Sappiamo inoltre che $a=v/t$, dove $t$ è il tempo.

$v_{x0}=a_{x}*t={\frac {F_{x}}{m}}*t$

componente orizzontale della velocità

$v_{y0}=a_{y}*t={\frac {F_{y}}{m}}*t$

componente verticale della velocità

Le leggi del moto del proiettile sono:

• $x=v_{x0}*t$
• $y=v_{y0}*t-{\frac {1}{2}}*g*t^{2}$
  

dove $g=9.8m/s^{2}$ è l'accelerazione di gravità.

Consideriamo, per esempio, i seguenti dati:

• $F=1000N$
• $m=1kg$
• $t=0.1s$
  

Ecco una tabella che mette in relazione alcuni angoli(da 45° in su) con la relativa gittata:

Angolo	Gittata $x=v_{x0}*t$
45°	70.71 m
50°	64.28 m
60°	50.00 m
70°	34.20 m
80°	17.36 m

Calcolo del tempo d'impatto

Usando la seconda legge del moto del proiettile, cioè $y=v_{y0}*t-{\frac {1}{2}}*g*t^{2}$, possiamo calcolare il tempo d'impatto del proiettile.
Pongo $y=0$, poiché quando il proiettile impatta al suolo non ha una componente verticale dello spostamento.
Conoscendo la componente verticale della velocità $v_{y0}$ posso calcolare il tempo d'impatto $t$:
$v_{y0}*t={\frac {1}{2}}*g*t^{2}$
$v_{y0}={\frac {1}{2}}*g*t$
$t={\frac {v_{y0}*2}{g}}$

Codice in Octave

Ecco il codice

g=9.8; 
vx=8;
vy=2; 
vz=5;
t=0:0.1:20; 
sx=vx.*t; 
sy=vy.*t-(g/2 .*t.*t); 
sz=vz.*t;
plot3(sx,sy,sz); 
grid on;
title('moto proiettile') 
xlabel('sx'); ylabel('sy'); zlabel('sz');

Grafico moto proiettile