Geometria per scuola elementare/Copia di un segmento

Geometria per scuola elementare
Costruzione di un triangolo equilatero	Copia di un segmento	Costruzione di un triangolo

Introduzione

Questa costruzione serve a copiare un segmento ${\overline {AB}}$ in un altro che parte dal punto T. La costruzione si ispira a Libro I, prop 2.

Costruzione

1. Indichiamo con A uno dei punti estremi di ${\overline {AB}}$. Quello che stiamo facendo è solo dare un nome a un punto. (Potremmo benissimo rimpiazzare A con l'altro punto estremo B: non cambierebbe nulla).
2. Disegna una linea ${\overline {AT}}$
3. Costruisci un triangolo equilatero $\triangle ATD$ (devi fare in modo che uno dei suoi lati sia proprio ${\overline {AT}}$).
4. Disegna il cerchio $\circ A,{\overline {AB}}$, centrato su A e di raggio ${\overline {AB}}$.
5. Ora disegna una linea da D in direzione di A e la prolunghi fino ad intersecare $\circ A,{\overline {AB}}$ in un punto a cui diamo nome E. Otteniamo così due segmenti ${\overline {AE}}$ e ${\overline {DE}}$.
6. Disegna il cerchio $\circ D,{\overline {DE}}$, con centro in D e raggio ${\overline {DE}}$.
7. Disegna una linea da D in direzione di T e la prolunghi fino ad intersecare $\circ D,{\overline {DE}}$ in un punto a cui diamo nome F. Otteniamo così due segmenti ${\overline {TF}}$ e ${\overline {DF}}$.

Affermazione

Il segmento ${\overline {TF}}$ è uguale a ${\overline {AB}}$ e parte da T.

Dimostrazione

1. I segmenti ${\overline {AB}}$ e ${\overline {AE}}$ partono entrambi dal centro di $\circ A,{\overline {AB}}$ e finiscono sulla circonferenza. Quindi sono uguali al raggio del cerchio e uguali tra loro.
2. I segmenti ${\overline {DE}}$ e ${\overline {DF}}$ partono entrambi dal centro di $\circ D,{\overline {DE}}$ e finiscono sulla circonferenza. Quindi sono uguali al raggio del cerchio e uguali tra loro.
3. ${\overline {DE}}$ è uguale alla somma delle sue parti ${\overline {DA}}$ e ${\overline {AE}}$.
4. ${\overline {DF}}$ è uguale alla somma delle sue parti ${\overline {DT}}$ e ${\overline {TF}}$.
5. Il segmento ${\overline {DA}}$ è uguale a ${\overline {DT}}$ perché sono due lati del triangolo equilatero $\triangle ATD$.
6. Siccome la somma dei segmenti è uguale e due degli addendi sono uguali fra loro, anche gli altri due addendi ${\overline {AE}}$ e ${\overline {TF}}$ dovranno essere uguali.
7. Quindi ${\overline {AB}}$ è uguale a ${\overline {TF}}$.