Fondamenti di informatica 1/Metodi di rappresentazione dei numeri binari

I numeri binari, in campo informatico, non sono utilizzati esclusivamente per memorizzare numeri interi positivi: ma, mediante alcune convenzioni, è possibile scrivere numeri binari con segno e parte decimale usando solo i simboli "0" e "1".

Rappresentazione in modulo e segno

Questo è il modo più semplice per rappresentare e distinguere numeri positivi e negativi: al numero binario vero e proprio viene anteposto un bit che, per convenzione, assume il valore 0 se il numero è positivo ed assume il valore 1 se il numero è negativo. Il grande difetto di questa rappresentazione è quello di avere due modi per scrivere il numero 0: 00000000 e 10000000 significano infatti +0 e -0.

Rappresentazione in complemento a due

Questo metodo di rappresentazione ha notevoli vantaggi, soprattutto per effettuare somme e differenze: in pratica ai numeri viene anteposto un bit di valore zero; se poi il numero è negativo è necessario convertirlo in complemento a due: per farlo è sufficiente leggere il numero da destra verso sinistra e invertire tutte le cifre a partire dal primo bit uguale a 1 (escluso). Per fare un esempio:

$-12_{10}=-01100_{2}=10100_{CA2}$

Come è possibile notare seguendo questo metodo il primo bit diventa automaticamente il bit del segno (come per il metodo precedente). Viene però risolto il problema dell'ambiguità dello 0 (in complemento a 2 00000 e 10000 hanno significati diversi) e vengono enormemente facilitate le operazioni di somma e differenza, che si riducono alla sola operazione di somma: per spiegare meglio basta fare un esempio:

$5_{10}-10_{10}=5_{10}+(-10)_{10}=0101_{2}-1010_{2}=00101_{CA2}+10110_{CA2}=11011_{CA2}=-00101_{2}=-5_{10}$

Rappresentazione in virgola mobile P754

Esistono innumerevoli modi per rappresentare numeri in virgola mobile ma il sistema più utilizzato è lo standard IEEE P754; questo metodo comporta l'utilizzo della notazione scientifica, in cui ogni numero è identificato dal segno, da una mantissa (1,xxxxx) e dall'esponente ($n^{yyyyy}$). La procedura standard per la conversione da numero decimale a numero binario P754 è la seguente:

1. Prima di tutto il numero, in valore assoluto, va convertito in binario.
2. Il numero va poi diviso (o moltiplicato) per 2 fino a ottenere una forma del tipo 1,xxxxxx.
3. Di questo numero viene eliminato l'1 iniziale (per risparmiare memoria)
4. Il numero di volte per cui il numero è stato diviso (o moltiplicato) per 2 rappresenta l'esponente: questo valore (decimale) va espresso in eccesso 127, ovvero è necessario sommare 127 e convertire il numero risultante in binario. Nel caso di rappresentazione a precisione doppia (v. definizione seguente) il valore dell'esponente viene espresso in eccesso 1023.

A questo punto abbiamo raccolto tutti i dati necessari per memorizzare il numero: in base al numero di bit che abbiamo a disposizione possiamo utilizzare tre formati: il formato a precisione singola (32 bit), il formato a precisione doppia (64 bit) e il formato a precisione quadrupla (128 bit).

1. Nel primo caso possiamo scrivere il valore utilizzando 1 bit per il segno, 8 bit per l'esponente e 23 bit per la mantissa.
2. Nel secondo caso servirà 1 bit per il segno, 11 bit per l'esponente e 52 per la mantissa.
3. Nel terzo caso servirà 1 bit per il segno, 15 bit per l'esponente e 112 per la mantissa.

Per esempio, convertiamo il valore $-14,3125_{10}$ in binario P754 single:

1. Convertiamo prima di tutto il numero: $14_{10}=1110_{2}$ per la parte intera e $0,3125_{10}=0,0101_{2}$. Quindi il numero definitivo è $1110,0101_{2}$ (segno escluso).
2. Dividiamo poi il numero per 2 per ottenere la seguente notazione: $1110,0101_{2}=1,1100101_{2}*2^{3}$
3. La mantissa diventa, quindi: 1100101.
4. Per esprimere l'esponente in eccesso 127, infine: $127+3=130_{10}=10000010_{2}$

Il numero, alla fine, sarà espresso nel formato:

1 10000010 11001010000000000000000

1. addizione binaria
2. 1+1=10