Elementi di Euclide/Libro I-Assiomi

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Gli Assiomi, che Tartaglia chiama concettioni dell'animo o altrimenti communi sententie, sono affermazioni di carattere generale cui si attribuisce per istinto valore di verità e da cui si fanno derivare, tramite operazioni di deduzione logica, affermazioni che vengono a loro volta considerate vere e che nel loro insieme costituiscono un sistema di conoscenze.

Il fatto che gli Assiomi siano proprio veri ha un'importanza tutto sommato relativa: quello che più conta è che il sistema di conoscenze che da essi deriva contenga solo affermazioni che si rafforzano o si completano a vicenda. In fondo, un sistema di assiomi che produca conoscenze coerenti descrive un mondo fondato su quegli assiomi. Un diverso sistema di assiomi, che producesse idee fra loro coerenti, non sarebbe più o meno vero del primo: semplicemente descriverebbe un mondo diverso.

Ma guai a noi se, in base ad un determinato sistema di assiomi, riuscissimo a dimostrare la verità di due affermazioni che si negano a vicenda: come potremmo orientarci in un ambiente simile?

Purtroppo, già negli anni 30 del secolo scorso, Kurt Gödel ha dimostrato che nessun sistema assiomatico è in grado di fornire le prove della propria coerenza e che perciò ogni teoria resta in piedi fin quando non viene falsificata da una o più proposizioni contraddittorie.

Ne risulta che, per allontanare il più possibile lo spettro della falsificazione, è necessario ponderare bene la scelta degli Assiomi: si dovranno selezionare solo quei principi che non siano mai stati contraddetti dall'esperienza nostra né da quella di chiunque sappiamo.

Richard Gregory (1970), citato da Noam Chomsky (1975) in uno studio sulla teoria dell'apprendimento, dice una cosa interessante a proposito della "velocità con la quale i neonati arrivano ad associare le proprietà degli oggetti, e quindi giungono ad imparare come predire proprietà nascoste ed eventi futuri": dice cioè che una tale velocità "sarebbe impossibile se non si supponesse che alcune strutture del mondo siano ereditate o comunque incorporate nel sistema nervoso".

Se così stanno le cose, cioè se davvero le concettioni dell'animo son il distillato di milioni di anni di esperienze di vita su questo mondo, è probabile che esse siano per noi proprio una buona opzione. Vediamole, dunque.

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Assioma 1

Quelle cose che à una medesima cosa sono equali, fra loro sono equali.

Per meglio calarci nella situazione, facciamo un esempio banale:

• Tu sei alto esattamente come la dispensa .
• Se anche tuo padre fosse alto come la dispensa
  • si potrebbe concludere che tu e tuo padre siete ugualmente alti.

Se ci pare vera la conclusione ottenuta significa che questo ragionamento, almeno qualche volta, funziona.

Proviamo allora a generalizzare l'idea, sfruttando la schematizzazione grafica di Tartaglia e vediamo cosa succede.

• Tu vieni rappresentato dal segmento a, di lunghezza qualsiasi e perfettamente sovrapponibile al segmento c che rappresenta la dispensa. Relativamente alle lunghezze vale dunque l'uguaglianza a = c
• Tuo padre viene rappresentato dal segmento b, anch'esso perfettamente sovrapponibile al segmento c cosicché si può dire che vale anche l'uguaglianza b = c
  • Una volta effettuato il confronto fra le due coppie di segmenti, chiunque concluderebbe che a = b senza sentire il bisogno di provare la veridicità dell'affermazione tramite una ulteriore sovrapposizione di segmenti.

E ora leviamoci la maschera: l'esibizione di strumenti geometrici ed algebrici è solo un bluff, un mezzo per camuffare il fatto che ci siamo limitati a ripetere la stessa storia con strumenti di comunicazione diversi. In effetti qui non ti abbiamo dimostrato niente.

Se sei convinto della verità della conclusione ottenuta vuol dire che ci credevi già. Ma da dove arriva il nostro collettivo convincimento?

Probabilmente dall'esperienza diretta e indiretta che abbiamo del fatto che, se due cose sono uguali ad una medesima cosa, esse sono ANCHE uguali fra loro.

In fondo le concettioni dell'animo si approvano con la testa ma nascono dalle viscere.

N.B. Abbiamo usato il noto simbolo "=" per indicare l'idea di "uguaglianza" o meglio di "equivalenza". Usare questo simbolo anziché scrivere l'espressione "è uguale a", ci consente di risparmiare tempo e inchiostro. Inoltre ci permette di superare le barriere che le differenze linguistiche pongono alla comunicazione Matematica per le superiori/Premessa.

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Assioma 2

Et se à cose equal siano aggionte cose equali, tutte le somme seranno equali.

Continuiamo a farci aiutare dalle rappresentazioni grafiche di Tartaglia, ben consapevoli del fatto che servono solo a farci figurare meglio la situazione.

Per restare fedeli al disegno di Tartaglia useremo le lettere minuscole. Bisogna tuttavia sottolineare che le convenzioni correnti consentono di usare le lettere minuscole solo per indicare un segmento nel suo complesso (come abbiamo fatto nell'assioma 1). In casi, come questo, in cui ci si riferisce al segmento indicandone gli estremi, bisognerebbe usare le lettere maiuscole.

Fatta questa premessa, proseguiamo:

• ab e cd sono segmenti perfettamente sovrapponibili, cioè sono ugualmente lunghi;
• anche bc e df lo sono, fra loro;
• se al segmento ab aggiungiamo il segmento bc mentre al segmento cd aggiungiamo il segmento df otteniamo i segmenti ac e cf anch'essi perfettamente sovrapponibili, cioè ugualmente lunghi.

La stessa cosa può essere riscritta in un linguaggio compatto e quasi internazionale come segue:

• ab = cd;
• bc = df;
• se ab + bc e cd + df allora ac = cf

Una volta inteso il ragionamento, non stentiamo a condividerlo, avendolo già molte volte applicato con soddisfazione alle situazioni che presentavano la struttura descritta dal confronto di segmenti.

In sostanza, spontaneamente siamo certi del fatto che aggiungendo cose uguali a cose uguali si ottengano SEMPRE cose ancora uguali fra loro.

N.B.: affinché il linguaggio diventi totalmente internazionale dovremmo prendere accordi su alcuni simboli cui affidare il ruolo delle parole italiane utilizzate. Ci conviene senza dubbio agganciarci alle convenzioni internazionali che stabiliscono che:

• l'idea di "se... allora" si può rendere mettendo il simbolo "→" fra le condizioni e la conclusione;
• l'idea di "aggiungere" si può rendere con il simbolo "+" (l'abbiamo dato per scontato);
• l'idea di "e" si può rendere con il simbolo "$\wedge$".

Secondo tali convenzioni il nostro Assioma 2 si può dunque rappresentare come segue:

• AB = CD;
• BC = DF;
• (AB + BC) $\wedge$ (CD + DF) → (AC = CF)

Efficace, no?

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Assioma 3

Et se da cose equali seranno tolte cose equali, quelle cose, che resteranno, seranno equali.

Dobbiamo smettere di essere troppo fedeli a Tartaglia quando chiama i segmenti coi nomi dei loro estremi. Se prendiamo il vizio di indicare i punti con le lettere minuscole rischiamo di fare delle gran brutte figure in giro per il mondo (tuttavia, se proprio ci scappasse questo errore, ricordiamoci di citare la nostra autorevole fonte: potrebbe fare la differenza fra una sprezzante alzata di sopracciglio e un'occhiata di ammirazione). Ad ogni modo, per fissare le buone abitudini, da ora innanzi noi scriveremo maiuscole le lettere che rappresentano punti anche se sul disegno sono minuscole.

La descrizione risultante sarà pertanto come segue:

• AE e CF sono segmenti uguali fra loro;
• anche BE e DF sono segmenti uguali fra loro ma non sono segmenti autonomi, sono parte dei segmenti sopraindicati;
• se a ciascuno dei primi due segmenti sottraiamo quella sua parte indicata al secondo punto, otteniamo ancora due segmenti uguali

Possiamo riscrivere lo stesso concetto nel nostro compattissimo linguaggio:

• (AE = CF)
• (BE = DF)
• (AE - BE) $\wedge$ (CF - DF)→(AB = CD)

N.B.: abbiamo dato per scontato che l'idea di "sottrarre" si può rendere con il simbolo "-"

Assioma 3 bis

Et se da cose non equali tu leuarai cose equali, li rimanenti seranno inequali.

In questo caso il disegno può essere descritto come segue:

• AB e CD sono segmenti diversi tra loro, tali che AB è maggiore di CD;
• viceversa BE e DF sono uguali fra loro ma non sono segmenti autonomi: sono parte dei segmenti sopraindicati;
• se a ciascuno dei primi due segmenti sottraiamo quella sua parte indicata al secondo punto, otteniamo ancora due segmenti diversi tra loro e tali che il primo sia maggiore del secondo.

Possiamo riscrivere lo stesso concetto nel nostro compattissimo linguaggio:

• (AB > CD)
• (BE = DF)
• (AB - BE) $\wedge$ (CD - DF)→(AE > CF)

N.B.: Abbiamo aggiunto un ulteriore simbolo alla nostra collezione di scorciatoie internazionali: abbiamo aderito alla convenzione in base alla quale l'idea di "essere maggiore" si può rendere con il simbolo ">".

Assioma 3 ter

Et se a cose inegual tu aggiongerai cose equali, li resultanti seranno inequali.

Per esemplificare questo assioma (il quinto assioma, secondo Tartaglia) sfruttiamo lo stesso disegno che è tornato utile nel precedente assioma.

La descrizione che ne risulta è la seguente:

• AE e CF sono segmenti diversi tra loro e sono tali che AE è maggiore di CF;
• viceversa BE e DF sono segmenti uguali fra loro ma non sono segmenti autonomi: sono un prolungamento dei segmenti sopraindicati;
• se a ciascuno dei primi due segmenti aggiungessimo quella sua parte indicata al secondo punto otterremmo ancora due segmenti diversi tra loro e tali che il primo sia maggiore del secondo.

Possiamo riscrivere lo stesso concetto nel nostro compattissimo linguaggio:

• (AE > CF)
• (BE = DF)
• (AE + BE) $\wedge$ (CF + DF)→(AB > CD)

Assioma 3 quater

Se due cose seranno doppie a una medesima cosa, quelle medesime seranno fra loro equali.

La rappresentazione di questo assioma si potrebbe descrivere come segue:

• il segmento AB è esattamente doppio (lungo due volte tanto) rispetto al segmento c;
• anche il segmento DE lo è;
• se ne conclude che il segmento AB ed il segmento DE sono ugualmente lunghi .

Procediamo con la solita traduzione in LIC (Linguaggio Internazionale & Compattissimo - la codifica è nostra):

• (AB = 2c) $\wedge$ (DE = 2c)→ (AB = DE)

N.B.: Ecco un ulteriore simbolo da aggiungere alla collezione. Abbiamo infatti aderito alla convenzione in base alla quale l'idea di "essere due volte tanto" si può rendere con il simbolo "2".

Assioma 3 penta

Se seranno due cose dellequale una e l'altra sia la mettà di una medesima cosa una e l'altra di quelle serà equale all'altra.

Questo assioma (in effetti l'assioma 8 di Tartaglia) è sostanzialmente identico al precedente e può essere descritto in modo analogo:

• il segmento a è esattamente la metà (deve essere diviso in due) rispetto al segmento c;
• anche il segmento b lo è;
• se ne conclude che il segmento a ed il segmento b sono ugualmente lunghi .

Procediamo con la solita traduzione in LIC:

• (a = ½ c) $\wedge$ (b = ½ c)→ (a = b).

N.B.: Questa volta abbiamo aderito alla convenzione in base alla quale l'idea di "essere la metà" si può rendere con il simbolo "½".

Come il Postulato 5 bis, anche gli Assiomi 3bis, 3ter, 3quater e 3penta sono stati trascurati dalla versione di riferimento per gli Elementi. Non sono proposizioni veramente innovative bensì casi particolari degli assiomi 2 e 3 i quali, viceversa, sono proposizioni insostituibili e convincenti.

Quelli sì che sono dei veri Assiomi!

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Assioma 4

Se alcuna cosa sia posta sopra a un'altra, e serà applicata a quella, che l'una non ecceda l'altra, quelle seranno fra loro equali.

Sul triangolo ABC Tartaglia vuole sovrapporre il triangolo DEF che compare nel disegno dell'assioma 5. Forse questo, che è sicuramente un errore di composizione dei disegni, può venir utile per considerare l'utilità di trovare criteri che permettano di individuare l'uguaglianza o la disuguaglianza di oggetti che non si trovino nelle immediate vicinanze

Sostanzialmente l'assioma 4 dice: le "cose" sovrapponibili sono fra loro uguali.

Facile, no? Eppure non del tutto facile.

Prima di tutto: a quali "cose" facciamo riferimento?

Si suppone che il principio della sovrapposizione possa essere applicato a qualsiasi cosa, visto che gli assiomi sono affermazioni di carattere generale e dunque non tipiche della geometria.

Eppure per l'uguaglianza di "cose" reali, inevitabilmente dotate di spessore, la sovrapposizione (che riguarda due sole dimensioni) non può bastare.

Va bene, si potrebbe dire: limitiamoci alle cose perfettamente piane (agli oggetti della geometria).

Ma anche così: cosa intendiamo per sovrapposizione?

• Lo scivolamento di una "cosa" sull'altra, quando gli oggetti restano nella dimensione piana?
  • Inequivocabilmente si.
• Il confronto delle parti corrispondenti che convinca circa la loro sorapponibilità, quando gli oggetti siano inamovibili o siano frutto di una trasformazione rigida fuori dal piano (come nel caso del ribaltamento)?
  • Se non si ammettesse questa opzione non sarebbe possibile dire, ad esempio, che un'immagine sia uguale alla sua versione speculare.

Però la seconda opzione non è veramente prevista dall'assioma 4: avrebbe bisogno di un assioma a sé stante, che autorizzi il confronto delle parti al fine di confrontare il tutto. Ma un assioma del genere in effetti manca.

È una pecca degli Elementi (di quelle a cui accennavamo presentando la costruzione di Euclide) ma non una pecca clamorosa, se si considera che non è stata rilevata fino alla critica di Arthur Schopenhauer nel 1818 e non è stata sistemata fino all'intervento di David Hilbert nel 1899 (vedi Assiomatizzazione della geometria e Assiomi di Hilbert).

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Assioma 5

Ogni tutto è maggiore della sua parte.

Questa evidente affermazione implica anche una relazione operativa fra il tutto e le parti.

Euclide la intende sottointesa ma che male c'è ad esplicitarla?

Se da un tutto, diciamo il segmento AB, togliessimo una parte, ovvero il segmento BC, ci rimarrebbe un segmento AC minore di AB. Il fatto che AC sia minore di AB è convalidato dal fatto che per ottenere AB bisogna sommare AC con CB (noi insistiamo nel convertire le lettere del disegno da minuscole a maiuscole, quando sono riferite a punti).

Operativamente l'assioma stabilisce che valgono entrambe le proposizioni:

• AB - BC = CA
• AB = BC + CA

ovvero stabilisce la verità dell'equivalenza tra le due proposizioni:

• (AB - BC = CA) = (AB = BC + CA)

C'e da dire che gli esempi presentati da Tartaglia sono tutti di natura geometrica piana, cosa che sembrerebbe privare di significato la distinzione fra postulati ed assiomi. Così egli, che ne è consapevole, rimedia all'apparente perdita di generalità degli assiomi, chiudendo ogni descrizione con la frase:

«il medesimo si concluderia in ogni altra specie di quantità, cioè, in Superficie, Corpi, & Numeri, & similmente nelli Angoli &c».

Lo stesso dobbiamo fare noi, non con le parole ma con l'immaginazione: alle lettere che abbiamo utilizzato nel fantomatico linguaggio LIC dovremmo essere capaci di far corrispondere l'immagine non solo di altri oggetti della geometria ma anche di quantità numeriche e di espressioni quantificabili in genere.

Se riusciremo a rileggere gli assiomi visualizzando esempi nostri di natura varia significherà che siamo pronti ad affrontare lo sforzo (e la soddisfazione) di erigere una costruzione sulle fondazioni che Euclide ha fin qui piazzato.

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