Comunicazioni digitali/Sistemi di comunicazione in banda passante

Sistemi di comunicazione in banda passante

Modulazione di segnali in banda passante

Si moltiplica il segnale per una cosinusoide a frequenza molto maggiore della banda del segnale. Si utilizza una oscillazione a frequenza elevata e si varia frequenza (FSK), fase (PSK) o ampiezza (PAM/DSB) di essa a seconda dei simboli trasmessi.

La banda utilizzata è doppia rispetto al segnale in banda base, quindi l'efficienza in banda, in generale si dimezza.

Nello studio di questi sistemi supponiamo che: \begin{itemize} \item il canale sia ideale, \item i simboli siano equiprobabili e indipendenti, \item la fase della portante sia nota \item si utilizzi un sistema in banda stretta con impulsi a coseno rialzato \item il numero $M$ dei simboli sia una potenza di due \end{itemize}

Sistemi M-PAM/DSB

Un sistema \emph{M-PAM/Double side band} (o M-PD) è corrispondente ad un sistema M-PAM con l'aggiunta di un modulatore in trasmissione e di un filtro di prerivelazione e di un demodulatore in ricezione

L'energia mutua del prodotto tra il segnale e la portante è nulla, in quanto sono praticamente disgiunti in frequenza

La BER di un sistema M-PD è la stessa di un sistema M-PAM, \begin{equation} BER_{M-PD} = \frac{2}{\log_{2}M} \left( 1 - \frac{1}{M} \right)

               Q\left( \sqrt{\frac{2E_{b}}{N_{0}} 
                             \frac{3 \log_{2}M}{M^{2}-1}} \right)
           = BER_{M-PAM}

\end{equation} ma la banda utilizzata è doppia e l'efficienza in banda è dimezzata; \begin{equation} B_{M-PD} = \frac{1+ \rolloff}{T} \phantom{30} \effb_{M-PD} = \frac{1}{1 + \rolloff} \end{equation}

Sistemi M-QAM

Un sistema \emph{Quadrature amplitude modulation} o M-QAM consiste il due sistemi M-PAM in fase/quadratura a $\sqrt{M}$ simboli che trasmettono in parallelo sullo stesso canale ($M$ è scelta potenza pari di due)

Il ramo in quadratura è modulato con una cosinusoide ritardata di $\pi/2$ rispetto alla cosinusoide del ramo in fase

i simboli emessi dalla sorgente sono codificati come simboli complessi con $\sqrt{M}$ simboli per la parte reale ed altrettanti per la parte immaginaria, un simbolo complesso $(a_{i},b_{i})$ viene trasmesso con un trasmettitore QAM che ricava il segnale trasmesso dalla differenza di due segnali PAM modulati: \begin{equation} s_{T}(t) = a_{i}g_{T}(t) \cos(2 \pi f_{pM} t) -

          b_{i}g_{T}(t) \sin(2 \pi f_{pM} t)

\end{equation}

il ricevitore QAM è composto da un filtro di prerivelazione $H_{R}(f)$ che limita il rumore nella banda del segnale, quindi da due ricevitori simili a ricevitori PAM che demodulano il segnale e restituiscono un valore complesso $(z_{c}(iT_{c}),z_{s}(iT_{c})$ che è passato al decisore che decide per i simbolo più vicino al campione \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} z_{c}(t) = \big(s_{T}(iT_{s}) \conv h_{R}(t) \big)

          2\cos(2\pi f_{pM} t) \conv g_{R}(t) + w_{c}(t) \conv g_{R}(t)\\

z_{s}(t) = \big(s_{T}(iT_{s}) \conv h_{R}(t) \big)

          -2\sin(2\pi f_{pM} t) \conv g_{R}(t) + w_{s}(t) \conv g_{R}(t)\\

\end{array} \right. \end{equation}

il segnale utile dopo il campionamento è uguale al valore dei simboli trasmessi ma ad essi si è sommato un rumore \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} w_{c}(iT_{c}) \in \gaus{0}{N_{0} \intI \mid G_{R}(f) \mid^{2}} \\ w_{s}(iT_{c}) \in \gaus{0}{N_{0} \intI \mid G_{R}(f) \mid^{2}} \\ \end{array} \right. \end{equation}

poiché i simboli in fase ed in quadratura sono indipendenti è possibile scomporre il decisore in due decisori simili che decidono separatamente la parte reale e la parte immaginaria del simbolo trasmesso

La banda occupata da un sistema M-QAM è pari a quella di un sistema $\sqrt{M}$-PD, ma per ogni simbolo si trasmettono 2 bit contemporaneamente, quindi il bit-rate è doppio e l'efficienza in banda è maggiore e pari a quella di una M-PAM \begin{equation} B_{M-QAM} = \frac{1+ \rolloff}{T_{b} \log_{2} \sqrt{M}} \phantom{30} \effb_{M-PD} = \frac{\log_{2}M}{1 + \rolloff} = \effb_{M-PAM} \end{equation}

la potenza di un sistema M-QAM dipende dal simbolo trasmesso e quindi questo metodo di trasmissione può essere utilizzato in casi in cui l'alimentazione dei dispositivi non causa problemi

Sistemi PSK

Un sistema di comunicazioni PSK varia la fase della cosinusoide portante per trasmettere l'informazione

l'alfabeto utilizzato è \begin{displaymath} a_{i} \in A_{M} = \{ 1, 2 , 3 , 4 , \ldots , M \} \end{displaymath}

Il trasmettitore M-PSK è composto da un \emph{modulatore di fase} che riceve in ingresso il simbolo da trasmettere e fornisce in uscita un segnale a impulsi rettangolari modulati con fase dipendente dal simbolo $\alpha_{i}$, seguito da un filtro sagomatore $h_{sag}(t)$ che limita la banda del segnale \begin{equation} s_{T}(t) = \sumI{i} g_{T}(t-iT_{c}) \cos(2 \pi f_{pM} t + \alpha_{i}) \end{equation} dove \begin{displaymath} g_{T}(t)=\rect{t-T_{c}/2}{T_{c}} \conv h_{sag}(t) \end{displaymath} e la fase può essere scelta in due modi differenti \begin{equation} \alpha_{i} = \frac{2 \pi a_{i}}{M} \phantom{30} \alpha_{i} = \frac{2 \pi a_{i} + \pi}{M} \end{equation}

un trasmettitore PSK è simile ad un trasmettitore QAM, poiché la cosinusoide modulante con fase variabile è equivalente a \begin{displaymath} \cos (2 \pi f_{pM} t + \alpha_{i}) = \cos(\alpha_{i}) \cos(2 \pi f_{pM} t) - \sin(\alpha_{i}) \sin(2 \pi f_{pM} t) \end{displaymath} che corrispondono alle sinusoidi modulanti di un trasmettitore QAM dove il valore dei simboli è $\cos(\alpha_{i})$ e $\sin(\alpha_{i})$; quindi un sistema PSK corrisponde ad un sistema QAM con simboli dipendenti e tali che la loro energia è uguale ed unitaria \begin{equation} E = \cos^{2}(\alpha_{i} + \sin^{2}(\alpha_{i}) = 1 \end{equation}

quindi banda ed efficienza in banda sono uguali al sistema QAM ed anche la struttura del ricevitore è uguale

La differenza sta nel decisore che deve decidere tra due simboli dipendenti e quindi sceglie il simbolo complesso che è a minore distanza angolare dal campione

L'energia media per bit di un sistema PSK è maggiore dell

Un sistema di trasmissione 2-PSK (o BPSK) è uguale ad un sistema PD ed un sistema 4-PSK (o QPSK) è uguale ad un sistema QAM

Sistemi FSK

Un sistema di trasmissione FSK utilizza una variazione della frequenza dell'oscillazione portante per trasmettere l'informazione

ad ogni simbolo $a_{i}$ è associata una frequenza $f_{i}=f_{pM}a_{i}$

il trasmettitore FSK è composto da un modulatore di frequenza che riceve in ingresso il simbolo $a_{i}$ e dà in uscita un impulso rettangolare $g_{T}(t)$ modulato con un'oscillazione cosinusoidale a frequenza $f_{i}$, in serie ad un filtro sagomatore $H_{sag}(f)$ per limitare la banda del segnale trasmesso

il segnale trasmesso è quindi \begin{equation} s_{T}(t) = \sumI{i} \rect{t-T_{s}/2}{T_{s}} \cos(2 \pi f_{pM}a_{i}) \end{equation}

l'energia associata ad ogni simbolo è la stessa in quanto la frequenza della cosinusoide non influisce su di essa \begin{displaymath} E = \intI g_{T}^{2}(t) \cos(2 \pi f t)

 = \intI g_{T}^{2}(t) \left( \frac{1 + \cos(4 \pi f t)}{2} \right)

\end{displaymath} quindi \begin{equation} E = \frac{E_{g_{T}(t)}}{2} \end{equation}

la banda occupata da ogni singola frequenza è pari alla banda di un sistema PAM, le frequenze sono scelte in modo che i loro spettri siano adiacenti, quindi la banda occupata da una trasmissione FSK è \begin{equation} \B_{M-FSK} = M \frac{1 + \rolloff}{T_{s}} \end{equation} che è $M$ volte la banda occupata da una trasmissione M-PAM. L'efficienza in banda è quindi $M$ volte minone di un sistema M-PAM, \begin{equation} \effb_{M-FSK} = \frac{\log_{2}M}{M(1+\rolloff)} \end{equation}

il ricevitore è composto da $M$ elementi simili a ricevitori PAM, ognuno composto da un filtro passa-banda $H(f)$ di banda $f_{i \in [1,M]}$ seguito da un demodulatore e dal filtro in ricezione; il segnale da campionare è quindi composto da $M$ componenti, $z(t) = z_{1}(t) , \ldots , z_{M}(t)$

\begin{equation} z_{1 \cdots M}(t) = \big( s_{T}(t) + w(t) \big) \conv H_{BP f_{1 \cdots M}}(f)

                   2\cos(2 \pi f_{1 \cdots M} t) \conv g_{R}(t)

\end{equation}

ciascuno degli elementi riceventi è quindi sensibile ad una delle frequenze trasmesse, il decisore sceglie il simbolo associato all'elemento ricevente che ha valore maggiore

\`E possibile utilizzare per la ricezione di un sistema FSK un ricevitore non coerente