Calcoli artistici

La nascita comune

Gli uomini preistorici non incidevano CD quindi non abbiamo la possibilità di valutare se l'imitazione dei ruggiti si possa interpretare quale prova dei primi tentativi di espressione artistica.

Le pitture e le incisioni rupestri sono arrivate fino a noi e sono quindi fortemente indiziate di essere loro le opere con le quali ha avuto inizio la storia dell'arte. Da quegli anni arrivano fino a noi anche incisioni su ossa che sembrerebbero a loro volta testimoniare la comparsa dei numeri e di qualche abbozzo di pensiero matematico. E' improbabile sia stata la stessa persona altrimenti avremmo commesso l'imperdonabile errore di non accorgerci dell'esistenza di un Leonardo preistorico. E' invece molto probabile che l'incisione su ossa sia stata il compimento di innumerevoli tentativi di incisione su bastoni, quelli purtroppo non giunti fino a noi, come i CD.

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  Pitture preistoriche (Ciad)
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  Incisioni rupestri 4000 A.C.

Spirali

Sembrerebbe che una delle prime forme rappresentate dall'uomo, 30-20 mila anni fa, siano spirali. In genere molto somiglianti alla spirale di archimede.

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  Spirale Neolitica(?)
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  Decorazione a spirale 2700 A.C.
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  Spirale 2300-2100 A.C.
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  Anfora Kamares 1800-1700 A.C.
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  Anfora Kamares 1800-1700 A.C.
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  Anfora Kamares 1800-1700 A.C.
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  Piatto(?) Kamares 1800-1700 A.C.
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  Anfora Kamares 1800-1700 A.C.
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  Fibula a spirale
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  Fibula in bronzo 500-400 A.C.
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  Monili con decorazione a spirale medioevo
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  Spirale delle erbe aromatiche

Natura spiraliforme

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Altre immagini non sono pubblicabili qui e vengono riportate come link in fondo alla pagina.

Spirali in geometria

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  Spirale archimeda
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  Spirale di Cornu (clotoide)
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  Spirale di Fermat
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  Spirale iperbolica
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  Spirale logaritmica
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  Spirale aurea
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Fibonacci e la sua serie

La serie di Fibonacci è una lunga, infinita, sequenza di numeri ottenuta partendo da $1\ e\ 1$ ai quali si fa seguire la loro somma $2=1+1$, al e di seguito la somma tra i due precenti $3=2+1$, regola che in generale ai numeri $21\ e\ 34$ fa seguire il $55$, poiché $55=21+34$, un nuovo numero si ottiene sommando gli ultimi due.

$1,\ 1,\ 2=1+1,\ 3=2+1,\ 5=2+3,\ 8,\ 13,\ 21...$

che matematicamente scrivendo

$a_{0},\ a_{1},\ a_{2}=2=a_{0}+a_{1},...,a_{n+1}=a_{n-1}+a_{n}$

I primi dodici numeri della serie si trovano citati nel Liber Abbaci di Leonardo Pisano detto Fibonacci come soluzione per il calcolo delle coppie di conigli discendenti nel tempo da una coppia di antenati.

Conigli e spirali

Coppie di conigli

Quante diventano le coppie di conigli, partendo da una unica coppia primigenia, sefigliano una coppia al mese a partire dal secondo mese di vita. Come crescono la conchiglia, il guscio della lumaca, la pigna, i petali della margherita (ma questo è da controllare).

Queste forme visibili in natura sono belle ai nostri occhi? Sono un canone di bellezza? Sono proporzionate?

La spirale di Fibonacci cresce approssimativamente come la spirale aurea, quindi possiamo pensare che ai nostri occhi siano indistiguibili. E dunque il rapporto aureo ci sembra essere molto presente in natura? Forse noi vediamo proporzioni che sono rapporti di numeri di Fibonacci conseguenti, ma ai nostri occhi sono solo repliche del rapporto aureo? La matematica ce lo conferma infatti la sezione aurea è il limite dei rapporti consecutivi dei numeri di Fibonacci.

La sezione aurea

La sezione aurea è un rapporto, una divisione, o per meglio dire il numero che ne risulta, è un numero espresso attraverso una divisione. E' imparentata con al serie di Fibonacci e, per levarci il pensiero, troviamo subito la parentela. Cominciamo però a scrivere cosa è la sezione aurea.

Sezione aurea

Nelle figura abbiamo un segmento $c$, una linea diritta tesa tra due punti, dividiamo il segmento in due parti $a$ e $b$ in modo che il rapporto tra $c$ ed $a$ sia lo stesso che intercorra tra $a$ e $b$.

Scritto come si deve, matematicamente:

${\frac {c}{a}}={\frac {a}{b}}$

e dal fatto che

$c=a+b$

si deduce

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}$

che, attraverso la risoluzione di una equazione di secondo grado, ecco a cosa serviva 'sta maledetta matematica del liceo, ci porta al valore della sezione aurea

${\frac {c}{a}}={\frac {a}{b}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Alla sezione aurea a questo punto vale la pena di dare un nome $\Phi$ e quindi una volta per tutte

${\frac {a}{b}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1,6180339887$

ed ecco un altro numero con un nome che si aggiunge a $\pi \approx 3,14$ o forse meno noto $e\approx 2{,}718281828459$, parenti importanti che danno vita alla più bella equazione matematica

$e^{i\pi }+1=0;$

ma questo non ha che fare con il nostro argomento.

Per chi non si accontenta, un po' di matematica

Da

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}$

si ricava

$\rightarrow 1+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}$

trasportando tutto al secondo membro

${\frac {a}{b}}-{\frac {b}{a}}-1=0$

e moltiplicando tutto per ${\frac {a}{b}}$ si ottiene una equazione di secondo grado in ${\frac {a}{b}}$

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}-{\frac {a}{b}}-1=0$

la cui soluzione positiva è

${\frac {a}{b}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

e la sezione aurea è così un numero definito attraverso la radice di 5 ${\sqrt {5}}$ cosa che lo colloca nell'insieme dei numeri irrazionali numeri ben definiti, ma con una sequenza infinita di cifre non periodiche. giusto per capirci i suoi compagni sono la famigerata ${\sqrt {2}}$, primo numero non razionale, responsabile della crisi della scuola Pitagorica, e $\pi$ sfuggente rapporto tra raggio e cercho origine di tanta perfezione.

Il valore approssimato della sezione aurea è

${\frac {a}{b}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,6180339887$

Sezione aurea in geometria

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Fibonacci e la sezione aurea

Sorprendentemente posto che ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ sia il rapporto tra due numeri conseguenti della serie di Fibonacci si trova che

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\Phi$

...ma bisogna ricordarsi della matematica della quinta liceo.

Grande risultato che in termini intuitivi può essere dedotto da questa tabella

Termini della serie	Frazione	Valore decimale
${\frac {a_{1}}{a_{0}}}$	${\frac {1}{1}}$	${\frac {1}{1}}=1$
${\frac {a_{2}}{a_{1}}}$	${\frac {2}{1}}$	${\frac {2}{1}}=2$
${\frac {a_{3}}{a_{2}}}$	${\frac {3}{2}}$	${\frac {3}{2}}=1,5$
${\frac {a_{4}}{a_{3}}}$	${\frac {5}{3}}$	${\frac {5}{3}}\approx 1,666666...$
${\frac {a_{5}}{a_{4}}}$	${\frac {8}{5}}$	${\frac {8}{5}}=1,6$
${\frac {a_{6}}{a_{5}}}$	${\frac {13}{8}}$	${\frac {13}{8}}=1,625$
${\frac {a_{7}}{a_{6}}}$	${\frac {21}{13}}$	${\frac {21}{13}}\approx 1,615348...$
${\frac {a_{8}}{a_{7}}}$	${\frac {34}{21}}$	${\frac {34}{21}}\approx 1,619047...$
${\frac {a_{9}}{a_{8}}}$	${\frac {55}{34}}$	${\frac {55}{34}}\approx 1,61764...$
$...$	$...$	$...$
$\Phi$	$...$	$\Phi \approx 1,618033987...$

Tabella che dimostra come il risultato della divisione tra due termini successivi della serie di Fibonacci al crescere dei termini si avvicina sempre di più al valore della sezione aurea.

Ed anche ad occhio la spirale aurea si confonde con al spirale di Fibonacci

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  Fibonacci Goldene Spirale
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  Spirale aurea
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  Approssimazione spirale di fibonacci e spirale aurea

Sezione aurea nell'arte

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Spirale di Fibonacci e spirale aurea in natura

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  Nautilus evidente la forma a spirale logaritmica
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  Galassia a spirale
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  Spirale logaritmica
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  Spirale ottenuta con quadrati
  di lato pari ai numeri della serie di Fibonacci
  sorprendentemente...

La prospettiva

La prospettiva in senso classico è quell'insieme di regole e di pratiche che permettono di proiettare su un quadro, un rettangolo a due dimensioni, una scena reale e gli oggetti e i personaggi in essa contenuta, rendendo la rappresentazione il più possibile verosimigliante.

Ed è questa verosimiglianza il principale motivo della ricerca e della scoperta della prospettiva. Seguendo questa interpretazione la prospettiva è quindi uno strumento adatto a rappresentare la realtà ovviamente in scala ridotta.

Il vero(?) obbiettivo della prospettiva

Analizzandola da un punto di vista scientifico la prospettiva è una proiezione dallo spazio a 3 dimensioni, larghezza, profondità e altezza, in quello a 2 dimensioni del quadro, altezza e larghezza e quindi ha alcune caratteristiche ed alcuni limiti che vorrei elencare:

• ha che fare con il solo senso della vista, nella copia non ci sono odori, rumori
• il senso della vista è quello che funziona in 3d, o per meglio dire in 2d visto che la nostra visione è già una proiezione, localmente, vicino a noi, poiché abbiamo due occhi abbiamo anche la percezione della terza dimensione, infatti riusciamo a calcolare istintivamente la distanza degli oggetti dal nostro corpo, ma non siamo poi in grado di calcolare distanze più consistenti con un colpo d'occhio
• la riproduzione della realtà non comprende le sensazioni dovute ad altri sensi, che in qualche modo dovrebbero essere coinvolti nella riproduzione fedele della realtà

I tentativi (pre)istorici

Lascaux-Astrojagd

Alcuni rilevano tentativi di prospettiva anche nelle incisioni o nelle pitture rupestri della preistoria come in questa rappresentazione visibile nelle grotte di Lascaux (Francia), 15.000 A.C. Sono da interpretare come tentativi di prospettiva anche le riproduzioni delle persone di grandezze diverse oppure poste su diversi piani, disposte su file a diverse altezze nella superficie dipinta. Un po' complicata la corretta interpretazione poiché le diverse dimensioni si potrebbero interpretare anche come diversa importanza che l'autore voleva attribuire alle persone, o alle cose, raffigurate.

Bull leaping minoan fresco archmus Heraklion

Altra prova è quella di rappresentare le teste di persone facenti parte di un gruppo numeroso su file diverse, rette parallele orizzontali nel piano. Queste prospettive sbagliate si ritrovano nelle opere della cultura persiana e di quella micenea. Troviamo forse tracce di ricerche prospettiche nell'opera cinese Tcheou(Chiou)-Pei Suang Ching, corrispondente ai nostri elementi di Euclide, dove viene spiegato geometricamente il calcolo delle dimensioni delle ombre.

L'ottica di Euclide

Non mancano tentativi e el etstimonainza sia scritte che dipinte di tentativi prospettici nella pittura e nell'allestimento delle scene teatrali nell'antica Grecia. Poi nel 300 A.C. Euclide scrive gli Elementi ed uno dei libri lo dedica all'Ottica, cioè allo studio geometrico della visione:

«...i raggi visuali si propagano in linea retta, partendo dagli occhi; i raggi visuali si susseguono con discontinuità...»

Qualche buona idea, i raggi visuali sono rette, qualcuna un po' strampalata, i raggi partono dagli occhi, e allora perché non vediamo anche al buio? Ed una boutade che afferma la teoria corpuscolare della luce. - Bravissimo, ma dì la verità, hai indovinato? - Ad oggi la luce si interpreta con entrambe le teorie corpuscolare e ondulatoria. Poi ci sono 12 affermazioni di Euclide, ovvie se si vuole ma utilissime per arrivare ad una rappresentazione prospettica corretta:

Jacopo Torriti, le nozze di Cana, basilica superiore di San Francesco

«Non si vedono gli oggetti ai quali non giungono i raggi visivi.» I vasi, in primo piano in basso, sono visti, anche se in modo un po' forzato, da un'altezza che non ci darebbe la possibilità di vedere cosa hanno nel piatto i commensali, ed invece lo vediamo.

Duccio di Boninsegna, Madonna Rucellai, Uffizi

Aggiungiamo una osservazione nell'atto di dipingere, secondo prospettiva, bisogna sempre considerare che l'occhio deve mantenere sempre la stessa posizione, e si può dipingere ciò che l'occhio vede, cioè quello che si può collegare con una linea retta. Poi il Cubismo metterà in moto il punto di vista, ma di questo ne parliamo in seguito.

«Gli oggetti che si vedono sotto angoli uguali...» (maggiori/minori) «...sono giudicati uguali» (maggiori/minori)

Lo scalino sul quale la madonna appoggia i piedi ha i lati orizzontali evidentemente non uguali, nel quadro, di fatto disegnati invertendo la regola prospettica. Il lato più vicino all'osservatore, uguale al lato più lontano, occuperebbe però un angolo maggiore nella visuale corretta dalla prospettiva.

Nell'ottica sono presenti anche due affermazioni che non tutti riconoscono come autentiche. La penultima è interessante e afferma che tutti i raggi hanno la medesima velocità. Qualcuno aveva già misurato la velocità della luce? Oppure...

Pianta Partenone

ColonnatoGrecoAngoli1

L'ottica di Euclide influenzò l'architettura, e gli architetti greci applicarono la prospettiva al contrario, non modificarono la rappresentazione della realtà ma direttamente gli edifici. E così la distanza tra le colonne del tempio, il fatto di farle un poco più ciccie del dovuto e di forma non circolare servivano a raddrizzare la veduta. Le distanze delle colonne venivano percepite come tutte uguali.

ColonnatoGrecoSpazioColonne

L'entasi, un rigonfiamento posto a circa un terzo dell'altezza della colonna, le rendeva visivamente cilindriche e la forma e la minima pendenza verso l'interno, raddrizzavano alla vista e le rendevano perfette se posizionate agli angoli esterni.

Partenone

Quindi se intendiamo la prospettiva come un insieme di idee e di pratiche per rappresentare oggetti tridimensionali su un piano bidimensionale, le modifiche che i greci applicarono ai templi potrebbero essere una prima applicazione della prospettiva, la rappresentazione è nel risultato della visione. Queste modifiche rappresentano probabilmente anche una prima semplice produzione di anamorfismi, dove è l'oggetto, il tempio, che viene modificato per ottenerne una vista più significativa.

L'Ottica fu poi ristampata e le sue idee si diffusero e furono usate nel corso del medioevo.

Prospettiva romana

Roman fresco from Boscoreale, 43-30 BCE, Metropolitan Museum of Art

Vitruvio nel primo secolo avanti cristo scrive il De Architectura nel quale definisce la scenographia a tutti gli effetti una vista per gli edifici di natura prospettica. Nell'immagine un affresco romano presenta edifici in prospettiva non del tutto corretta.

Prospettiva che non c'é

Prospettiva araba e mediorientale non esiste. Forse si potrebbe indagare l'architettura.

... e medievale

Nicolas Lokhoff. Copy of the picture. The Road to Emmaus by Duccio di Buoninsegna

Rappresentazioni cariche di espressione ma qualcosa dal punto di vista geometrico non va.

Giotto e le sue intuizioni

Giotto di Bondone - No. 3 Scenes from the Life of Joachim - 3. Annunciation to St Anne - WGA09171

Molte altre sono le prove delle intuizioni di Giotto, piccolo ma di grande significato il particolare del tetto della casa di sant'anna che nulla avrebbe tolto al dipinto, eppure in alto a destra si vede bene il pezzo di tetto che la prospettiva ci lascia vedere.

La prospettiva era il santo graal dei tempi di Giotto i fratelli Lorenzetti lanciano la sfida per la rappresentazione corretta di un pavimento a scacchi.

Brunelleschi e Alberti scoperta e definizione

Paolo Monti - Servizio fotografico (Firenze, 1975) - BEIC 6349045

Sembrerebbe che Brunelleschi per mostrare ai propri colleghi pittori la propria scoperta li abbia convocati di fronte al battistero a Firenze. Una volta lì giunti li abbia fatti provare ad usare uno apparecchio che obbligando lo sguardo a passare attraverso un foro su una tavola fissava il punto di vista prospettico e riflettendo poi la tavola su uno specchio che posizionato in modo da coprire il battistero dimostrava la perfezione della riproduzione ottenuta rispettando la prospettiva.

Fiat Corbicar Ambulanza pic

Sulla tavola Brunelleschi aveva dipinto una immagine del battistero simmetrica, scambiando la destra con la sinistra, in modo che risultasse corretta nella riflessione, come si fa ad oggi con la scritta ambulanza per renderla immediatamente leggibile nello specchietto retrovisore.

E così con una prova, provata, Brunelleschi dimostrò di aver scoperto la prospettiva, informò tutti i colleghi che il suo metodo si basava sui principi enunciati da Euclide e su dimostrazioni matematiche, ma fedele al suo stile empirico, non lasciò scritti.

Geometria della prospettiva

La proiezione che la prospettiva fa degli oggetti tridimensionali sulla tela bidimensionale è una immagine immaginaria che potremmo ricavare se avessimo braccia abbastanza lunghe per ricalcare la nostra visione su un vetro posto tra noi e quello che osserviamo. La prospettiva deve perciò rispettare le deformazioni oppure le proprietà che restano invariate nell'immagine immaginaria.

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  Prospettiva3D
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  Prospettiva3D
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  Prospettiva3D
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  Prospettiva3D
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  ProspettivaConUomo
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  Prospettiva dinamica

Le immagini possono essere esplorate in 3D su Geogebra:

• Prospettiva in 3D
• Prospettiva dinamica Si sposta il punto di vista.

..ed una volta capito il meccanismo

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  Un punto di fuga
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  Due punti di fuga
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  Tre punti di fuga

Il pavimento a quadri

I fratelli Lorenzetti lanciarono la sfida della rappresentazione prospettica di un pavimento a scacchi, e, ipotizzando un pavimento quadrato questa sarebbe stata la soluzione dei Brunelleschi - Alberti. Nell'immagine l'ipotesi del pavimento quadrato serve per confondere la lunghezza con la larghezza e fare una sintesi dei disegniin uso a suo tempo. La distanza delle rette parallele viene costruita a partire dalla larghezza, anziché dalla lunghezza, ma è la stessa e quindi va bene.

Prospettiva3x3Scacchi

Nelle immagini la prospettiva di un pavimento a scacchi colorati per evidenziare le posizioni reciproche e le deformazioni prospettiche. Le immagini provengono da una sola immagine in 3D su Geogebra, nel link l'immagine semplificata dove sono riportate le sole rette necessarie a disegnare il quadrato centrale giallo:Prospettiva in 3D

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  Prospettiva su un piano perpendicolare al pavimento
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  Prospettiva su un quadro
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  Prospettiva su un quadro 2
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  Prospettiva su un quadro con le sole rette necessarie a disegnare il quadrato giallo

Le dimensioni delle immagini

Quanto devono essere grandi le immagini delle cose che si dipingono? Posso calcolare in qualche modo?

Tutto viene regolato dalla altezza dell'immagine di un uomo. Infatti usando le proporzioni: l'altezza dell'immagine dell'uomo è proporzionata all'altezza dell'uomo così come l'altezza dell'immagine della facciata di un edificio sta all'altezza reale dell'edificio.

Altezza uomo per prospettiva

Il rapporto di similitudine si può calcolare, infatti il rapporto altezze reali altezze nel disegno ha lo stesso valore di quello tra le distanze del pittore dagli edifici e dal quadro (misura che nella figura è ingrandita):

${\frac {Uomo}{DisegnoUomo}}={\frac {Facciata}{DisegnoFacciata}}={\frac {Distanza}{DistanzaOcchioQuadro}}$

La posizione relative

Un altro problema da risolvere era quello di posizionare le figure nell'immagine rispetto alla posizione reale nel piano. Ovviamente era chiaro che andasse disegnate più in alto. Ma di quanto?

Una volta disegnata la prospettiva andava introdotto un regolo che permettesse di riportare la profondità di ciò che si voleva rappresentare. Il metodo di Durer introducendo la diagonale sulla quale riportare la profondità permetteva il trasporto.

La costruzione in una animazione

Posizione punto in prospettiva

Posizione del punto nel piano anche in 3D

Durer

358durer

Al ritorno dai suoi viaggi in Italia, rinnega i suoi lavori precedenti. Chiaro sintomo di una presa di coscienza matematica.

Gli schizzi di Durer influenzano il naturalista scozzezse D'Arcy Wentworth Thompson che proporrà come la stessa natura lavora per anamorfosi e cambi punto di vista facendo evolvere gli esseri viventi.

Transformation of Argyropelecus olfersi into Sternoptyx diaphana

I contributi teorici più importanti: Piero della Francesca

Alla fine del 1400 Piero della Francesca scrive il De prospectiva pingendi il trattato che fissa in maniera chiara le proprietà geometriche dalla prospettiva. Interessante che nei suoi postulati si preoccupi del fatto che il punto e la retta siano visibili, così aveva fatto anche l'Alberti. Infatti per Euclide il punto è totalmente privo di dimensioni, cosa che lo renderebbe invisibile, la retta avendone solo una, di dimensione, la potremmo vedere solo infilandocela in un occhio.

A buona ragione, occupandosi di matematica della pittura, Piero della Francesca ci rassicura che son cose che seppur ideali si devono comunque vedere!

...e Luca Pacioli(?)

Pubblica a suo nome trattati scritti da Piero della Francesca. C'è da fidarsi?

...ed infine Leonardo

Leonardo fa molte ricerche empiriche, frequenta, fortunatamente(?), con difficoltà il greco ed il latino, e così facendo scopre e fa scienza. Adopera e fa riferimento a tre diversi tipi di prospettiva:

• lineare, quella geometrica
• del perdimento che studia le variazioni della visione dovuta al mezzo
• di spedizione che studia le variazioni dei colori in termini di prospettiva

La nuova pittura matematica

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La matematica e la prospettiva

Nel XVI secolo Federico Commandino e Guidobaldo Del Monte ripresero il cammino di Euclide e inaugurarono gli studi sulla prospettiva dal punto di vista strettamente astratto e geometrico.

Le nuove prospettive

Dalla prospettiva, dal dipingere seguendo determinate regole, si originano diverse strade: dimostrare che la prospettiva ci può ingannare per scherzo, gli anamorfismi, far diventare le regole della prospettiva l' oggetto della nostra pittura e non lo strumento, in matematica si direbbe modificando l'operatore, come fa Escher, oppure producendone una interpretazione adatta a spazi inesplorati, dal 4d al 2d come Dalì, o introducendo la prospettiva dinamica del cubismo e del futurismo, e avanti di questo passo.

Gli anamorfismi

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didatticarte.it anamorfosi Artista orientale da Facebook

LA geometria degli anamorfismi

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Escher e Reutersvard la prospettiva all'accusativo

Da collegare alla prospettiva come sua sublimazione e all'ipercubo di Dalì.

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Dalì proiettare il 4d sul 2d

Quello che fa Dalì nel quadro Corpus Hypercubus è un salto doppio rappresentando in su una superficie, in 2 dimensioni (2D) un oggetto di 4 dimensioni (4D) l'ipercubo. La sua prospettiva proietta un ipercubo, la croce (l'ipercubo 4D), sulla tela (2D). Dalì è un erede eretico di Brunelleschi, che sublima le regole della prospettiva.

Aumentare le dimensioni: ipercubo?

Da 0 a 4 dimensioni:

• 1 punto vive nello spazio senza dimensioni
• 2 punti si congiungono con un segmento e guadagnano 1 dimensione (1D)
• 4 segmenti sono i lati del quadrato un oggetto bidimensionale a 2 dimensioni
• 6 quadrati sono le facce del cubo tridimensionale (3D)

...mmmmmmmm....

• 8 cubi sono le facce dell'ipercubo in 4 dimensioni (4D)

...e avanti così fino all'infinito

Attenzione ai nostri sensi 4D

8-cell-simple

C'è da mettere in evidenza però che a noi manca un senso, o per meglio dire abbiamo solo il formalismo matematico e la fantasia sfrenata per andare in uno spazio 4D e vedere cosa è un ipercubo. In un mondo 4D fantastico dovremmo poter prendere in mano un piccolo ipercubo e con una vista 4D poterlo osservare, rigirandolo vedremmo le sue facce che dovrebbero essere dei cubi. Ma... cosa è la nostra mano in 4D? Quale è la vista che ci fa vedere oggetti 3D, i cubi, come le facce di un oggetto in 4D, l'ipercubo? ..e così via. E poi il 5D e il 6D e avanti con le D... In genere si dice che le donne abbaino il sesto senso, forse loro hanno esperienze in 6D?

Però è vero che la matematica ha una geometria analitica che funziona bene in 4D. La geometria che conosciamo bene quella del piano si chiama geometria euclidea perché la misura della distanza tra i punti è data da una formula che si rifà al Teorema di Pitagora.

Due punti nel piano cartesiano A e B di coordinate:

$A\equiv (x_{a},y_{a})\ e\ B\equiv (x_{a},y_{a})$

sono distanti

${\overline {AB}}={\sqrt {\left(x_{a}-x_{b}\right)^{2}+\left(y_{a}-y_{b}\right)^{2}}}$

Cosa che possiamo immaginare corrispondere al calcolo in linea retta di due navi nell'oceano una volta che si conoscano le loro coordinate. I due comandanti delle navi possono conoscere la distanza reciproca semplicemente comunicandosi le coordinate. Ci sono sotto un po' di complicazioni in questo esempio: la distanza si calcola in gradi ammesso che il sistema sia monometrico, che poi andrebbero trasformati in chilometri, ma la sostanza è che le coordinate permettono il calcolo della distanza senza una misura diretta.

Questo una volta assegnato il sistema di coordinate e quindi assegnate le proprie coordinate ad ogni punto:

• 0D non ci sono coordinate
• 1D distanza da un punto convenzionale $A(x_{a})$, come misurare con il centimetro, un numero individua un punto
• 2D $A(x_{a},y_{a})$, due numeri individuano un punto, come le coordinate sulla terra
• 3D $A(x_{a},y_{a},z_{a})$, tre numeri individuano un punto, coordinate nello spazio
• 4D $A(x_{a},y_{a},z_{a},w_{a})$ quattro numeri individuano un punto, coordinate nell'iperspazio, impossibile da immaginare ma funzionante

...

E quindi la distanza nelle diverse dimensioni:

• 0D non c'è distanza il punto è solo e se ce ne sono altri stanno tutti ammucchiati
• 1D ${\overline {AB}}={\sqrt {\left(x_{a}-x_{b}\right)^{2}}}=\left|x_{a}-x_{b}\right|$ semplice misura su una retta, linea dritta
• 2D ${\overline {AB}}={\sqrt {\left(x_{a}-x_{b}\right)^{2}+\left(y_{a}-y_{b}\right)^{2}}}$
• 3D ${\overline {AB}}={\sqrt {\left(x_{a}-x_{b}\right)^{2}+\left(y_{a}-y_{b}\right)^{2}+\left(z_{a}-z_{b}\right)^{2}}}$
• 4D ${\overline {AB}}={\sqrt {\left(x_{a}-x_{b}\right)^{2}+\left(y_{a}-y_{b}\right)^{2}+\left(z_{a}-z_{b}\right)^{2}+\left(w_{a}-w_{b}\right)^{2}}}$

la distanza e la sfera due punti un cerchio la sfera l'ipersfera

La prospettiva al cinema: il cinema 3d

Nel cinema il movimento è già presente ed anche la rappresentazione prospettica, una delle possibili rivoluzioni prospettiche è quindi l'introduzione del 3d.

Il 3d personalizzato è più vero

Johnny Lee Chung - Head Tracking for Desktop VR Displays using the WiiRemote

Johnny Lee Chung mostra il 3d personalizzato che dipende dal punto di vista.

Ologrammi

La vera prospettiva? Nel video fake della balena in palestra viene mostrata una possibile applicazione di una tecnologia legata a dei visori. Il video è una pubblicità trasformata in un fake, ma forse non è lontano un tempo in cui dotati di visori tutti gli spettatori potranno assistere, e forse un po' partecipare, a spettacoli realistici con le ambientazioni più remote e irraggiungibili mentre sono seduti allo stadio.

Visori 3d

Ferry - OCULUS RIFT S | CHI DOVREBBE ACQUISTARLO E PERCHÈ

La realtà aumentata e le nuove dimensioni

Vedere una montagna e la sua evoluzione nel tempo

La realtà aumentata e quantistica

Vedere una montagna e i suoi possibili sviluppi. Lola corre e Sliding doors.

Gli oggetti 3d e l'arte in 3d

Oggetti vettoriali, i videogiochi sono arte moderna popolare.

La prospettiva in prospettiva: l'ipercubo in 3d

Disegnare, proiettare, un ipercubo in 3d ma poi lo dovremmo percepire con un organo di un senso che non abbiamo che ci dovrebbe permettere di vedere un cubo tutto in un solo sguardo.

...e i frattali, altre dimensioni altre prospettive

Come disegnare, proiettare in 2d, un oggetto di dimensione ${\frac {5}{2}}$, ostrega ce l'avevamo appena fatta a muoverci tra le diverse dimensioni e già dobbiamo preoccuparci dell'infità delle dimensioni frattali.

I solidi platonici

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I solidi platonici sono solo 5

Un po' di geometria e matematica di quella bella e facile. I solidi regolari sono solo 5, che cosa strana se si paragonano ai poligoni regolari che invece sono infiniti.

E come è possibile che siano solo 5?

{6,3} Difetto di 0° Esagoni in piano	{4,3} Difetto di 90°	{4,4} Difetto di 0° Quadrati in piano	{5,3} Difetto di 36°	{3,3} Difetto di 180°	{3,4} Difetto di 120°	{3,5} Difetto di 60°	{3,6} Difetto di 0° Triangoli in piano
Pavimento a piastrelle esagonali		Pavimento a piastrelle quadrate					Pavimento a piastrelle triangolari

Per prima cosa si può capire che che i solidi (poliedri) regolari, cioè quelli che hanno tutte le facce uguali, come facce possono avere solo triangoli, quadrati e pentagoni. Un solido con le facce a forma di esagono non può esistere, infatti, se avvicino tre esagoni la somma dei loro angoli fa esattamente 360° e si spiana. Nei disegni in tabella si vede come innanzitutto per ottenere un vertice e qualcosa di solido devo avvicina almeno 3 triangoli, oppure 3 quadrati oppure 3 pentagoni, ma poi se avvicino 4 quadrati $4\cdot 90^{\circ }=360^{\circ }$ il solido diventa un pavimento a piastrelle quadrate, e così non posso usare 4 pentagoni e come scritto sopra 3 esagoni stanno su un piano, facile vedere piastrelle esagonali. Con i triangoli un eventuale solido può avere 3 facce triangolari che si incontrano in un vertice, oppure 4 oppure 5, 6 triangoli equilateri che hanno in comune un vertice $6\cdot 60^{\circ }=360^{\circ }$ sono un bellissimo pavimento a piastrelle triangolari.

È possibile dimostrare che non esistono più di cinque poliedri regolari anche a partire dalla relazione di Eulero. Sia dato un poliedro con F facce, ognuna delle quali è un poligono regolare con n lati e nel quale, a ogni vertice, si incontrano r spigoli, i quali sono in totale S.

Moltiplicando il numero dei lati di ogni faccia per il numero delle facce del poliedro si ottiene il doppio della totalità degli spigoli (ogni spigolo viene contato due volte, una sulla prima faccia e una sulla faccia attaccata alla prima per quello spigolo):

$nF=2S$

inoltre, la totalità degli spigoli moltiplicata per due equivale al numero dei vertici V moltiplicati per il numero r di spigoli che si incontrano in essi, perché ogni spigolo collega tra loro due vertici:

$rV=2S$

quindi si ottiene

$F={\frac {2S}{n}}$

$V={\frac {2S}{r}}$

e sostituendo questi valori nella caratteristica di Eulero-Poincaré:

$V+F-S=2$

${\frac {2S}{r}}+{\frac {2S}{n}}-S=2$

e, dividendo per 2S, si arriva a

${\frac {1}{r}}+{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{S}}$

Entrambi n e r devono essere maggiori o uguali a tre, poiché un poligono deve avere almeno tre lati e almeno tre lati devono incontrarsi nel vertice di ciascuno degli angoloidi di un poliedro.

Inoltre n e r non possono essere entrambi uguali a quattro, poiché in tal caso il primo membro dell'equazione sarebbe uguale a 0, mentre 1/S è positivo. Se n e r fossero poi contemporaneamente maggiori di tre, S dovrebbe essere negativo; questa possibilità è quindi esclusa, e almeno uno deve essere tre.

Se n = 3, si ha

${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{S}}$

${\frac {1}{r}}-{\frac {1}{6}}={\frac {1}{S}}$

e quindi r può essere uguale solo a 3, 4, oppure 5, casi che corrispondono rispettivamente al tetraedro, all'ottaedro e all'icosaedro.

Allo stesso modo, se r = 3, allora n può assumere solo i valori 3, 4, oppure 5. Si può scartare 3 perché lo abbiamo considerato nel caso precedente; restano i casi 4 e 5, che corrispondono al cubo e al dodecaedro.

Non ci sono altri casi possibili, e quindi esistono al più cinque poliedri regolari.

Dalì

Purtroppo difficile trovare immagini libere dei quadri di Salvador Dalì: maddmaths - Salvador Dalì

Dante e il principio d'inerzia

Chi non conosce il principio d'inerzia, quello che ci tiene inerzialmente "legati" al divano. Un oggetto sta fermo oppure si muove di moto rettilineo uniforme, sempre alla stessa velocità e nella stessa direzione, se non intervengono delle forze a modificare il suo moto. La scoperta di questo principio è, giustamente, attribuita a Galileo Galilei che lo spiega esplicitamente nel Dialogo sopra ai massimi sistemi . Sorprendentemente però Dante potrebbe essere il primo ad averlo osservato e descritto senza probabilmente esserne così consapevole, e lo ha osservato niente popo' di meno che all'Inferno. Dante, con Virgilio, viene trasportato in volo da Gerone, che non ha le ali ma all'Inferno volano tutti con o senza ali.

Siamo nel XVII canto dell'Inferno e Dante e Virgilio scendono nelle Malebolge, che già dal nome suggerisce essere un luogo ameno. La traiettoria che Gerone segue, su esplicita richiesta di Virgilio, è una spirale larga che descrive lentamente ampie volute, cerchi concentrici e, se visti dall'alto, sovrapponibili.

Ella sen va notando lenta lenta;
rota e discende, ma non me n'accorgo
se non che al viso e di sotto mi venta.
(Divina Commedia, Inferno, canto XVII). 

Dante afferma di non rendersi conto di volare se non per l' aria in faccia. Ed è in questo non rendersi conto di volare che sta nascosto il principio di inerzia, stare fermi o muoversi di moto rettilineo uniforme non è percepito come differente. In figura è rappresentata la traiettoria a spirale del volo di Dante, la velocità, tangente alla traiettoria (freccia nera), che affinché la sensazione di Dante sia verosimile deve essere abbastanza piccola, la forza di gravità (freccia blu), che possiamo trascurare poiché Dante è stabilmente sostenuto da Gerone, e la forza centripeta (freccia rossa), la forza che fa curvare il diavolo e i suoi passeggeri facendoli volare su una traiettoria a spirale e che per non essere percepita deve essere molto debole.

Dante, virgilio e Gerone in volo

Dante non si sta muovendo di moto rettilineo uniforme possibile che non se ne accorga? In cosa differisce il moto di Dante, sul dorso di Gerone, da un moto rettilineo uniforme? Dante può ragionevolmente affermare di non percepire il moto, di non accorgersi di volare?

Nel 1307 sarebbe stato difficile immaginare di muoversi senza rendersene conto, forse in una stanza di una nave in moto molto lentamente, come poi descrisse Galileo, 300 anni dopo, nell'enunciazione esplicita del principio d'inerzia. Ai nostri giorni è facile ad esempio in treno, o in aereo, essere in movimento senza averne la sensazione. Ma Dante descrive appunto una situazione simile. E nella situazione da lui descritta, volando a cavalcioni, quali sono le condizioni del moto che Dante può a ragion veduta non percepire? Sta descrivendo una situazione possibile? A quali condizioni?

Eliminiamo da subito la sensazione dovuto alla forza di gravità, Dante non ha la sensazione di cadere ed è corretto, anche noi in aereo non abbiamo la sensazione di cadere se ci si abbassa di quota lentamente, ed infine all'inferno c'è la gravità? Fatta questa ipotesi possiamo analizzare il movimento e la conseguente forza centripeta come se avvenisse su un cerchio.

La forza centripeta: $ForzaCentripeta=massa(Dante)\cdot accelerazione=m\cdot {\frac {v^{2}}{R}}$

Parafrasando la formula la forza centripeta è proporzionale alla massa di Dante, al quadrato della velocità sulla traiettoria ed inversamente proporzionale al raggio del cerchio che rappresenta la voluta. Per far si che Dante non la percepisca la forza centripeta deve essere piccola, non possiamo, ma all'inferno tutto può accadere, far dimagrire Dante diminuendo la massa, possiamo far muovere piano l'astronave Gerone e allargare le volute, ed infatti Virgilio a Gerone:

Gerïon, moviti omai:
le rote larghe, e lo scender sia poco;
pensa la nova soma che tu hai! » 
(Inf. XVII, 97-99)

Prendendo una ipotesi verosimile che ci facilita i calcoli, la velocità di Gerone sia $v=3,6{\frac {km}{h}}=1{\frac {m}{s}}$ e che la massa di Dante siano $m=70kg$. La forza centripeta che agisce su Dante dipende dal raggio delle volute, che

con $v=velocita'$ e $R=raggio\ delle\ volute$.

In buona sostanza più grande è il raggio e meno intensa sarà la forza centripeta.

Cerchio voluta del volo di Gerone

Il calcolo della forza centripeta a seconda della misura del raggio del cerchio voluta

• Cerchio di piccolo raggio $R=10m$ quindi $F_{c}=70\cdot {\frac {1^{2}}{10}}N=7N$
• Cerchio di medio raggio $R=100m$ quindi $F_{c}=70\cdot {\frac {1^{2}}{100}}N=0,7N$
• Cerchio di grande raggio $R=500m$ quindi $F_{c}=70\cdot {\frac {1^{2}}{500}}N=0,14N$

Quanto deve essere largo l'inferno affinché Dante abbia ragione? Purtroppo al momento non ci è dato di sapere ma abbiamo una paio di alternative per trovare la risposta: ricercare informazioni sulle dimensioni dell'inferno nel testo della divina commedia oppure andandoci di persona a fare le misure...

Note e immagini non CC-BY-SA

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Bibliografia

• L'inganno dell'occhio (Collana Mondo Matematico), AAVV, RBA, Villatuerta (Navarra), ISSN 2039-1153
• La sezione aurea (Collana Mondo Matematico), AAVV, RBA, Villatuerta (Navarra), ISSN 2039-1153
• Matetrentino, AAVV, Springer, Milano, 2006, ISBN 88-470-0473-X, ISBN 13 978-88-470-0473-3
• Arte e matematica, Bruno D'Amore, Edizioni Dedalo, 2015, Bari, ISBN 978-88-220-41760
• Matematica e arte (Collana convergenze), Laura Catastini e Franco Ghione, Springer, 2011, Segrate (MI), ISBN 978-88-470-1728-3
• Divina commedia
• Flatland (Flatlandia)
• Fulvi Valeria - Formula di Eulero
• Saverino - Poliedri regolari in 3 e in 4 dimensioni
• Wikipedia - Formula di Eulero Dimostrazione della formula di Eulero

Collegamenti esterni

• Meccanica nella Divina Commedia - Franco Maria Boschetto
• Relatività e moti nella Divina commedia - Franco Maria Boschetto
• Antonietta Esposito - La dimensione tra immaginazione e realtà
• Blog di matematica e scienze - Gianfranco Bo - Pigne e numeri di Fibonacci
• Fibonacci - Unica Calcolare le coppie di conigli discendenti da una coppia
• instoria.it - Pittura Persiana
• Carlo Guida - La prospettiva nella storia dell'arte
• Teorema di Pitagora nel Tcheou-Pei Suang Ching
• math.unipa.it - Tcheou(Chiou)-Pei Suang Ching
• matematicascuola.it - Teorema di Pitagora nel Tcheou-Pei Suang Ching
• www.fisica.uniud.it - Storia della prospettiva
• Wikipedia - Prospettiva
• Antonio Coppola - La struttura dei templi greci
• Giorgio Pietrocola - Poligonale Aurea
• Youmath - spirale aurea
• Prof.ssa Emanuela Pulvirenti Sezione aurea
• Ripmat - Sezione aurea
• Escher Wieting - Triangoli iperbolici
• Enzo Pennetta - Matematica di Escher
• Youmath - Polimath - Solidi platonici
• Marco Andreatta - Forma e sostanza geometria
• Wikipedia - Solidi platonici
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