Buchi neri e Universo/1. Alice nello specchio

1. Alice nello specchio

Partendo dalla definizione della velocità di fuga come la velocità necessaria per sfuggire all’attrazione gravitazionale di un corpo di massa M posto a distanza R e allontanarsi fino all’infinito

$v_{f}={\sqrt {\frac {2GM}{R}}}$ (1.1)

possiamo immaginare che tale corpo sia compresso in un raggio R_S (chiamato raggio di Schwarzschild, dal nome del fisico tedesco che elaborò questa soluzione delle equazioni della relatività generale nel 1916, o raggio gravitazionale) così piccolo che la velocità di fuga da esso sia uguale alla velocità della luce:

$R_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}$ (1.2)

Ciò è precisamente quanto accade in un buco nero; la superficie sferica di raggio R_S che circonda la singolarità centrale è chiamata orizzonte degli eventi.

L’ipotesi su cui si basa questo scritto è che l’orizzonte cosmologico, cioè la superficie sferica che racchiude la regione di spazio da cui possono giungerci segnali – e che perciò è causalmente connessa con noi – sia analoga all’orizzonte di un buco nero, e più precisamente che esista una simmetria speculare fra gli effetti prodotti da un orizzonte degli eventi all’esterno di un buco nero e quelli prodotti dall’orizzonte cosmologico all’interno della regione di Universo da noi osservabile (in questa sede si utilizzerà il modello originario di Schwarzschild, privo di carica elettrica e non rotante).

A un primo esame un confronto fra i due oggetti può sembrare del tutto arbitrario e privo di significato. Si potrebbe obiettare, ad esempio, che l’orizzonte di un buco nero è simile a un fronte d'onda elettromagnetico stazionario, cioè che non si espande con il passare del tempo, mentre l’orizzonte cosmologico si definisce considerando la distanza che separa l'osservatore dal punto da cui sarebbe partito, nell'istante in cui è nato l'Universo (il cosiddetto Big Bang), un raggio di luce che lo raggiunga al tempo t, distanza che aumenta col passare del tempo. Si è anche affermato che l’applicazione della termodinamica agli orizzonti cosmologici è sensata solo nel caso di un universo statico di de Sitter, e che non esiste una temperatura caratteristica per universi di Friedmann-Robertson-Walker come il nostro.

In verità già nel 1989 Roger Penrose aveva paragonato l’Universo ad un buco nero, concludendo che esso dovesse avere una entropia di 10¹²³ [9]; e più recentemente Seth Lloyd e Y. Jack Ng, ipotizzando che l’Universo sia una sorta di computer quantistico il quale accumula informazione sulla superficie del suo orizzonte, hanno ricavato per l’entropia cosmica valori compresi tra 10¹²⁰ e 10¹²² [5; 6; 7]. Ci sono inoltre delle innegabili proprietà comuni fra l’orizzonte di un buco nero e quello cosmologico: la velocità di fuga è uguale per entrambi a c, e i segnali che provengono da regioni sempre più vicine all’orizzonte cosmico (e sempre più lontane da noi) subiscono una dilatazione della lunghezza d'onda secondo la stessa legge che regola il redshift della luce che risale il campo gravitazionale di un buco nero. E ancora, se il concetto di “temperatura caratteristica” è inadeguato a un universo in espansione, lo è altrettanto se riferito a un buco nero in evaporazione (in realtà entrambi possono essere considerati come sistemi a invarianza adiabatica, cioè che non cambiano le loro proprietà in processi molto lenti). Per il momento, comunque, si può prendere questa analogia come una ipotesi di lavoro, sospendendo il giudizio sulla sua correttezza, e vedere dove essa può condurci.

In primo luogo, se l’Universo osservabile è analogo a un buco nero la sua densità è esattamente uguale al valore critico discriminante fra universi chiusi e aperti; in altre parole, la regione cosmica in cui viviamo ha una geometria spazio-temporale euclidea (Universo piatto) e pertanto è destinata a espandersi per sempre. Si ha infatti:

$\rho ={\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}={\frac {3c^{6}}{32\pi G^{3}M^{2}}}={\frac {3c^{2}}{8\pi GR^{2}}}=\rho _{c}$ (1.3)