Aritmetica modulare/Esercizi

Di seguito sono presentati degli esercizi, con le rispettive soluzioni, divisi per capitoli.

Capitolo 1Modifica

1 Trovare:

20 mod 3 =

31 mod 4 =

1895 mod 7 =

43245 mod 13 =

2 Dire quali dei seguenti elementi sono invertibili:

4 (modulo 8)
10 (modulo 14)
12 (modulo 31)
15 (modulo 35)
8 (modulo 9)
438 (modulo 15)


Capitolo 2Modifica

  • Dimostrare che se   allora n è divisibile per d se e solo se lo è la somma delle sue cifre, quando n è scritto in base b.

Calcolare usando il piccolo teorema di Fermat o il teorema di Eulero:

  =

  =

  =

  =

  =

  =

  =

  =

  =


Capitolo 3Modifica

1 Risolvere:

  =

  =

  =

  =

  =

  =

2 Risolvere:

  =

  =

3 Risolvere:

  =

4 Determinare tutti gli x tali che   è dispari.


Capitolo 4Modifica

  • Dimostrare, usando il solo teorema di Chevalley, che la congruenza
 

ha soluzione per ogni primo p.

  • Trovare tutte le soluzioni della congruenza
 

Capitolo 5Modifica

Trovare l'ordine moltiplicativo di:

6 mod 11 =

14 mod 25 =

13 mod 43 =

2 mod 15 =

3 mod 63 =


  • Sapendo che   e  , trovare una radice primitiva modulo 73.

1 Trovare le radici primitive modulo 23.

2 Sapendo che 2 è una radice primitiva modulo 13, trovare una radice primitiva modulo 169.


  • Costruire una tavola di indici modulo 11 a partire dalla radice primitiva 2.

Capitolo 6Modifica

  • Dimostrare che se a è una radice primitiva modulo un primo p congruo a 1 modulo 4 allora anche p-a è una radice primitiva modulo p.

1 Elencare i residui quadratici modulo 13.

2 Calcolare: |type="{}"   = { -1


Capitolo 7Modifica

  • Dimostrare che in   ogni elemento è somma di al più due residui quadratici usando il teorema sull'esistenza di infiniti primi in ogni progressione aritmetica.