Analisi numerica/Equazioni non lineari

La risoluzione di problemi non lineari rappresenta uno dei campi più importanti della matematica. Si potrebbe dire che in generale ogni problema lineare che emerge dalla modellizzazione di qualche fenomeno costituisce l'approssimazione lineare di una modellizzazione più completa. Questo non significa che i modelli lineari siano di poca utilità. Anzi, in molte applicazioni si cerca di semplificare il modello per guadagnare la linearità, a scapito magari di un minor aggancio con la realtà. Quando però questo non è possibile, si è costretti a risolvere un problema non lineare.

Salvo casi molto rari, la tecnica principale in analisi numerica per risolvere problemi non lineari consiste nel creare una successione di problemi lineari, le cui soluzioni approssimino sempre meglio, in una norma opportuna, la soluzione del problema non lineare.

Un importante classe di problemi che emerge da molte applicazioni è quella delle equazioni non lineari, ossia relazioni del tipo

$f(x)=0,$

dove $f$ è una funzione non lineare. Nel caso in cui $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ e $x\in \mathbb {R} ^{n}$, si parlerà di sistema di equazioni non lineare.

In questo capitolo ci occuperemo di illustrare alcuni tra i più importanti metodi per la ricerca di zeri di equazioni non lineari. Ci occuperemo solamente del caso reale, lasciando completamente perdere il caso delle equazioni non lineari in campo complesso.

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