Trigonometria/Formule goniometriche

Formule di addizione e sottrazione

Le formule di addizione e sottrazione servono per esprimere le funzioni goniometriche di una somma (o sottrazione) di due angoli di cui sono già note le funzioni.

${\begin{aligned}\sin(\alpha \pm \beta )&=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha \pm \beta )&=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\tan(\alpha \pm \beta )&={\frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }}={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{(1\mp \tan \alpha \tan \beta )}}\end{aligned}}\,\!$

Formule di duplicazione

Le formule di duplicazione, che si ricavano dalle precedenti, servono per esprimere le funzioni goniometriche di un angolo doppio di un angolo di cui si conoscono già le funzioni.

${\begin{aligned}\sin 2\alpha &=\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \\\cos 2\alpha &=\cos \alpha \cos \alpha -\sin \alpha \sin \alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \\\tan 2\alpha &={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}\end{aligned}}\,\!$

Formule di bisezione

Le formule di bisezione servono per esprimere le funzioni goniometriche di un angolo pari alla metà di un angolo di cui si conoscono già le funzioni.

${\begin{aligned}\sin {\frac {\alpha }{2}}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}\\\cos {\frac {\alpha }{2}}&=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}\\\tan {\frac {\alpha }{2}}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}\end{aligned}}$

Formule di prostaferesi

Le formule di prostaferesi trasformano somme e sottrazioni di funzioni goniometriche in prodotti.

${\begin{aligned}\sin \alpha +\sin \beta &=2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}\\\sin \alpha -\sin \beta &=2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\\\cos \alpha +\cos \beta &=2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}\\\cos \alpha -\cos \beta &=-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\\\tan \alpha \pm \tan \beta &={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}\end{aligned}}\,\!$

Le formule inverse delle formule di prostaferesi si chiamano formule di Werner.

Prima formula di prostaferesi

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

Dimostrazione

La formula di partenza può essere riscritta come:

$\sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\beta +\alpha }{2}}+{\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)$

Da cui, utilizzando la formula di addizione per il seno, si ottiene:

$\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}+\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}$

Utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:

$\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:

$2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

Seconda formula di prostaferesi

$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

Dimostrazione

La formula di partenza può essere riscritta come:

$\sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)-\sin \left({\frac {\beta +\alpha }{2}}+{\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)$

Da cui, utilizzando la formula di addizione per il seno, si ottiene:

$\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}$

Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:

$\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:

$2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

Terza formula di prostaferesi

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

Dimostrazione

La formula di partenza può essere riscritta come:

$\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)+\cos \left({\frac {\beta +\alpha }{2}}+{\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)$

Da cui, utilizzando la formula di addizione per il coseno, si ottiene:

$\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}$

Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:

$\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:

$2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

Quarta formula di prostaferesi

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

Dimostrazione

La formula di partenza può essere riscritta come:

$\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)-\cos \left({\frac {\beta +\alpha }{2}}+{\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)$

Da cui, utilizzando la formula di addizione per il coseno, si ottiene:

$\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}+\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}$

Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:

$\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:

$-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

quindi arrivederci

Formule di prostaferesi per la tangente

$\tan \alpha \pm \tan \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}$ con $\alpha ,\beta \neq (2k+1){\frac {\pi }{2}};k\in \mathbb {Z}$

Dimostrazione

La formula di partenza può essere riscritta, in virtù della definizione di tangente, come:

${\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\pm {\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}$

Da cui, giacché la condizione sugli angoli garantisce che i coseni non siano nulli:

${\frac {\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\pm {\frac {\sin \beta \cos \alpha }{\cos \beta \cos \alpha }}$

Da cui, raccogliendo il denominatore:

${\frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \sin \beta \cos \alpha }{\cos \alpha \cos \beta }}$

Da cui, giacché il numeratore è il risultato delle formule di addizione e sottrazione per il seno, si ottiene per sostituzione:

${\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}$

Formule di prostaferesi per la cotangente

$\cot \alpha \pm \cot \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}$ con $\alpha ,\beta \neq k\pi ;k\in \mathbb {Z}$

Dimostrazione

La formula di partenza può essere riscritta, in virtù della definizione di cotangente, come:

${\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\pm {\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}$

Da cui, giacché la condizione sugli angoli garantisce che i seni non siano nulli:

${\frac {\cos \alpha \sin \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\pm {\frac {\cos \beta \sin \alpha }{\sin \beta \sin \alpha }}$

Da cui, raccogliendo il denominatore:

${\frac {\cos \alpha \sin \beta \pm \cos \beta \sin \alpha }{\sin \alpha \sin \beta }}$

Da cui, giacché il numeratore è il risultato delle formule di addizione e sottrazione per il seno, si ottiene per sostituzione:

${\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}$

Formule di Werner

Le formule di Werner trasformano prodotti di funzioni goniometriche in somme e sottrazioni.

${\begin{aligned}\sin \alpha \sin \beta &={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )]\\\cos \alpha \cos \beta &={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )]\\\sin \alpha \cos \beta &={\frac {1}{2}}[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )]\end{aligned}}\,\!$