Meccanica razionale/Cinematica/Moto relativo

Teorema di Coriolis

Consideriamo un punto P in moto nello spazio, e supponiamo che il moto del punto sia individuato dalla conoscenza delle:

$\ x=x(t)$

$\ y=y(t)$

$\ z=z(t)$

rispetto ad una terna mobile di moto più generale (traslazione e rotazione). Il problema che ora ci proponiamo è quello di determinare le velocità e le accelerazioni del punto P rispetto ad un sistema di assi fissi dalla conoscenza delle velocità e delle accelerazioni rispetto agli assi mobili. La risoluzione di questo problema richiede quindi la conoscenza delle seguenti grandezze:

1. Parametri del moto della terna mobile.
2. Parametri del moto del punto P rispetto alla terna mobile.

Velocità assoluta

$O_{m}$,x,y,z è il sistema di assi mobilii ed il suo moto è individuato dalle componenti $u_{o}$, $v_{o}$, $w_{o}$ della velocità di traslazione $V_{o}$ del punto $O_{m}$ rispetto agli assi fissi, e dal vettore rotazione ${\bar {\mathbf {\Omega } }}$ diretto come l'asse istantaneo di rotazione e definito dalle sue tre componenti p, q, r rispetto agli assi mobili.

Se $O_{f}$ è l'origine degli assi fissi avremo:

${\vec {O_{f}P}}={\vec {O_{f}O_{m}}}+{\vec {O_{m}P}}$

La velocità assoluta è data da:

${d({\vec {O_{f}P}}) \over dt}={d({\vec {O_{f}O_{m}}}) \over dt}+{d \over dt}(x{\hat {\mathbf {i} }}+y{\hat {\mathbf {j} }}+z{\hat {\mathbf {k} }})={d{\vec {O_{f}O_{m}}} \over dt}+x{d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}+y{d{\hat {\mathbf {j} }} \over dt}+z{d{\hat {\mathbf {k} }} \over dt}+{\dot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\dot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}$

${\vec {V_{a}}}={\vec {V_{o}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {OP}}+{\dot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\dot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}$

Il termine

${\vec {V_{r}}}={\dot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\dot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}$

di quest'ultima equazione rappresenta la velocità del punto P qualora la terna $O_{m}xyz$ fosse fissa, cioè rappresenta la velocità di P relativa alla terna mobile ed è quindi chiamata velocità relativa.

mentre il termine:

${\vec {V_{t}}}={\vec {V_{o}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {OP}}$

rappresenta la velocità del punto P come se fosse rigidamente collegato con la terna mobile. Questo termine è noto come velocita di trascinamento ${\vec {V_{t}}}$. Concludendo possiamo dire che la velocità assoluta è data:

${\vec {V_{a}}}={\vec {V_{t}}}+{\vec {V_{r}}}$

Accelerazione assoluta

La derivata rispetto al tempo della formula precedente rappresenta ovviamente l'accelerazione assoluta. Pertanto:

${\vec {a_{a}}}={d{\vec {V_{o}}} \over dt}+{\vec {\Omega }}\wedge {d{\vec {OP}} \over dt}+{d{\vec {\Omega }} \over dt}\wedge {\vec {OP}}+{\dot {x}}{d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}+{\dot {y}}{d{\hat {\mathbf {j} }} \over dt}+{\dot {z}}{d{\hat {\mathbf {k} }} \over dt}+{\ddot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\ddot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\ddot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}$

$={d{\vec {V_{o}}} \over dt}+{\vec {\Omega }}\wedge {[({\dot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\dot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }})+(x{d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}+y{d{\hat {\mathbf {j} }} \over dt}+z{d{\hat {\mathbf {k} }} \over dt})]}+{d{\vec {\Omega }} \over dt}\wedge {\vec {OP}}+{\dot {x}}{d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}+{\dot {y}}{d{\hat {\mathbf {j} }} \over dt}+{\dot {z}}{d{\hat {\mathbf {k} }} \over dt}+{\ddot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\ddot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\ddot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}$

Sviluppando otteniamo tre termini:

$(1)[{d{\vec {V_{o}}} \over dt}+{\vec {\Omega }}\wedge {(x{d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}+y{d{\hat {\mathbf {j} }} \over dt}+z{d{\hat {\mathbf {k} }} \over dt})}+{d{\vec {\Omega }} \over dt}\wedge {\vec {OP}}]$

$(2)[{\dot {x}}{d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}+{\dot {y}}{d{\hat {\mathbf {j} }} \over dt}+{\dot {z}}{d{\hat {\mathbf {k} }} \over dt}+{\vec {\Omega }}\wedge {({\dot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\dot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }})}]$

$(3)[{\vec {a_{r}}}={\ddot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\ddot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\ddot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}]$

Il primo termine, ricordando che ${d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}={\vec {\Omega }}\wedge {\hat {\mathbf {i} }}$ ed analoghe per ${\hat {\mathbf {j} }}$ e ${\hat {\mathbf {k} }}$, rappresenta l'accelerazione di trascinamento di P come rigidamente connesso con $O_{m}$xyz:

${\vec {a_{t}}}={d{\vec {V_{o}}} \over dt}+{\vec {\Omega }}\wedge ({\vec {\Omega }}\wedge {\vec {OP}})+{d{\vec {\Omega }} \over dt}\wedge {\vec {OP}}$

Il secondo termine, ricordando sempre che ${d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}={\vec {\Omega }}\wedge {\hat {\mathbf {i} }}$, è quello che si chiama l'accelerazione complementare o di Coriolis:

${\vec {a_{c}}}=2{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {V_{R}}}$

Il terzo termine è l'accelerazione di di P rispetto ad $O_{m}$xyz come se questo fosse fermo nello spazio ed è, quindi, l'accelerazione relativa:

${\vec {a_{r}}}={\ddot {x}}{d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}+{\ddot {y}}{d{\hat {\mathbf {j} }} \over dt}+{\ddot {z}}{d{\hat {\mathbf {k} }}}$

Se la terna mobile si muove di moto di traslazione uniforme, cioè ${d{\vec {V_{o}}} \over dt}=0$ e ${\vec {\Omega }}=0$, l'accelerazione assoluta del punto coincide esattamente con l'accelerazione relativa. Se la terna mobile si muove unicamente di moto traslatorio, cioè ${\vec {\Omega }}=0$, si ha:

${\vec {a_{a}}}={d{\vec {V_{o}}} \over dt}+{\vec {a_{r}}}$

Qualora la terna si muova solamente di moto rotatorio uniforme rispetto ad un asse, ${\vec {\Omega }}=cost.$ , vale:

${\vec {a_{a}}}={\vec {\Omega }}\wedge ({\vec {\Omega }}\wedge {\vec {OP}})+{\vec {a_{c}}}+{\vec {a_{r}}}$