Quattro cariche eguali sono poste su ognuno degli spigoli di un quadrato di lato (piano ) (con il centro del quadrato nell'origine delle coordinate). Determinare il modulo del campo elettrico generato da una singola carica e dall'insieme delle cariche in un punto sull'asse del quadrato a distanza (cioè
sull'asse nel punto se l'origine è al centro del quadrato).
Tre cariche eguali praticamente puntiformi sono poste nel vuoto ai vertici di un triangolo equilatero di lato . Quale carica va posta nel centro del triangolo affinché la forza che agisce su ciascuna carica risulti nulla.?
Due sbarrette sottili di materiale isolante, lunghe , sono
disposte perpendicolarmente tra di loro. Detta la distanza del
punto dalla estremità delle due sbarrette. Su ciascuna
sbarretta è distribuita uniformemente una carica .
Determinare l'intensita' del campo elettrico in .
Un dipolo: due cariche di segno opposto nel vuoto, sono poste
ad una distanza . Determinare la differenza di potenziale
(rispetto all'infinito) esatta ed approssimata, in un punto a
distanza , la cui congiungente con il centro delle cariche forma
un angolo di con la congiungente delle cariche stesse.
Otto cariche eguali sono disposte sui vertici di un cubo di lato
. Assunto un sistema di riferimento con origine al centro del
cubo e con assi delle coordinate paralleli agli spigoli del cubo.
Determinare il campo elettrico su uno qualsiasi degli assi delle
coordinate a distanza dall'origine, confrontando tale
valore con il campo calcolato approssimativamente (ipotesi di una
carica puntiforme equivalente al centro). Inoltre scrivere la formula esatta per generico.
Sui vertici di un quadrato di lato sono disposte delle cariche eguali in modulo , ma di segno opposto. In maniera che vertici vicini hanno carica opposta. Determinare il modulo della forza elettrica che agisce su ogni carica.
Un dipolo: due cariche di segno opposto nel vuoto, sono poste ad una
distanza .
Determinare il rapporto tra l'intensità esatta ed approssimata del campo elettrico ad una
distanza dal loro centro, in un punto la cui
congiungente con il centro delle cariche forma un angolo di con
la congiungente delle cariche stesse.
Calcolare il campo elettrico generato sull'asse di una spira circolare filiforme di raggio posta nel vuoto in cui
è distribuita uniformemente una carica . Discutere i casi limite: e
Sui vertici di un quadrato di lato sono disposte delle cariche eguali in modulo , ma di segno opposto. In maniera che vertici vicini hanno carica opposta.
Scrivere l'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle , ed in particolare calcolarne il valore
per .
Una sbarretta sottile di materiale isolante ha una lunghezza . Su di essa
è distribuita uniformemente una carica . Assunto un riferimento
cartesiano con asse coincidente con la direzione della sbarretta e
origine nel suo centro. Trovare per quali sono di pari intensità
i campi elettrici in (d,0) e (0,d)
a meno dell'1\%.
(dati del problema , )
Tre particelle cariche sono poste come in figura,
separate da una distanza . Le cariche e sono
tenute ferme, da forze non elettriche, mentre la carica
soggetta alla sola forza elettrica è in equilibrio.
Si determini il valore di e la forza elettrica che agisce sulla carica .
Su un anello di raggio è distribuita uniformemente la carica .
Una particella di carica viene posta con velocità nulla a distanza dal centro. Determinare la velocità della particella quando passa per l'origine
(immaginando che la particella sia vincolata a muoversi sull'asse normale al piano passante per il centro dell'anello).
Due dipoli elettrici di piccole dimensioni sono eguali e posti sullo stesso asse a distanza . a) Determinare la forza con cui attraggono. b) Se invece l'asse del primo rimane lo stesso ed il secondo viene ruotato di 90o e sono sempre posti alla stessa distanza quale è il momento della forza che il primo esercita sul secondo?
Una particella dotata di carica e massa si trova in prossimità di un piano orizzontale isolante carico con densità di carica uniforme in cui è praticato un foro circolare di raggio e centro .
1) Si calcoli l'altezza rispetto a del punto lungo l'asse del foro in cui la particella è in equilibrio.
2) Se la particella è inizialmente ferma lungo l'asse ad un'altezza rispetto a , osservando che la particella attraversa il centro del foro, quale sarà la sua velocità?
(Dati del problema: , , , . Si intende che agiscono sulla particella sia le forze elettrostatiche che la forza peso)
Due sbarrette sottili di lunghezza sono cariche uniformemente con una carica e come mostrato in figura.
Le sbarrette sono disposte secondo l'asse delle con i loro centri distanti .
Determinare il campo generato nel centro del sistema (origine delle coordinate) e nel punto (sull'asse delle ). (Nel secondo punto eventualmente si può approssimare il sistema con un dipolo
equivalente).
Un anello che giace nel piano x,y ed ha raggio , ha una carica che varia lungo la circonferenza secondo la legge:
dove è l'angolo con l'asse delle per cui la carica è positiva per e negativa per . Determinare 1) la carica totale lungo il semianello in cui le y sono positive; 2) l'espressione del campo elettrico nei punti lungo l'asse ed in particolare per ; 3) il dipolo elettrico equivalente del sistema .
Un piano infinito carico con una densità di carica uniforme ha uno stretto taglio di dimensioni . Determinare il campo generato sulla normale al taglio a grande distanza da ().
Una goccia sferica di olio (liquido isolante) ha una carica distribuita uniformemente al suo interno di Qo e sulla sua superficie un campo elettrico pari a Eo. Determinare a) il raggio Ro della sfera b) la differenza di potenziale tra la superficie della goccia ed il suo centro c) l'energia necessaria a creare tale distribuzione di carica e come cambia tale energia se la goccia di spezza in due frammenti identici sferici di pari densità (elettrica e di massa) separati ad una distanza molto maggiore delle loro dimensioni (praticamente all'infinito).
21. Tre cariche sui vertici di un quadratomodifica
Su tre vertici di un quadrato di lato sono fissate rispettivamente due cariche positive ed una negativa come mostrato in figura. Sul quarto spigolo viene posta una carica , di massa con velocità nulla. Determinare: a) l'accelerazione della carica nel punto e b) la velocità con cui arriva nel punto (sulla continuazione della diagonale del quadrato).
22. Due cariche sui vertici di un triangolomodifica
Si consideri un triangolo rettangolo isoscele con cateti di lunghezza . Sulla ipotenusa (asse orizzontale) ad un estremo è posta una carica puntiforme , mentre all'estremità opposta è posta una carica di valore variabile pari a . Determinare sul vertice opposto all'ipotenusa del triangolo: a) il valore delle componenti del campo elettrico nel caso in cui è massima la componente orizzontale; b) il valore delle componenti del campo elettrico nel caso in cui è massima la componente verticale; c) il valore di per cui è minimo il modulo del campo elettrico ed il suo valore.
Una carica è posta nell'origine delle coordinate e ad una distanza vi è un dipolo elettrico,
con momento , orientato parallelamente alle linee del campo generato dalla carica (così da essere attratto) .
Assunto come asse delle la congiungente la carica ed il dipolo;
determinare a) la forza con cui si attraggono, nell'ipotesi che le dimensioni fisiche del dipolo siano trascurabili rispetto a ;
b) il campo elettrico generato nel punto ; c) la differenza di potenziale tra e .
Ognuna delle cariche genera un campo in modulo pari a:
La componente di tale campo nella direzione del piano del quadrato si annulla con quella dello spigolo opposto. Per cui solo la componente lungo l'asse del quadrato non è nulla ed eguale per tutti gli spigoli:
Al centro di ogni poligono regolare il campo elettrico è nullo per ragioni semplici di geometria. Quindi ci interessa solo la forza che agisce sugli spigoli del triangolo.
Se definiamo e le cariche in basso e quella in alto disponendole come in figura. Detto il lato del triangolo:
Le componenti delle due forze nella direzione si annullano a
vicenda per cui rimane solo la componente lungo se definisco
l'angolo formato dalla verticale con i lati obliqui del
triangolo. Tale angolo vale . Quindi la componente lungo
l'asse di tali forze valgono:
Quindi la forza totale vale:
avendo sostituito a il suo valore .
La distanza dai vertici della carica al centro è l'ipotenusa (r) di un triangolo rettangolo con cateto e angolo tra ipotenusa e cateto di . Quindi:
Seguendo la falsariga dell'esercizio sulla spira carica
in cui una spira di raggio e con carica distribuita
uniformemente sull'anello , generava un campo su un punto generico dell'asse:
Se consideriamo i differenziali equivalenti:
invece di
e invece di .
Si ha che:
Quindi:
Se il termine è trascurabile e quindi:
Mentre se si può approssimare facendo lo sviluppo di Taylor del termine all'interno delle parentesi quadre con:
quindi quando si ha che lungo l'asse il campo vale:
come quello di una carica puntiforme posta sull'asse.
La distanza tra il punto e le 4 cariche vicine del cubo vale:
L'unica componente del campo che non si compensa tra spigolo opposti
è quella lungo l'asse delle quindi essendo il coseno
dell'angolo formato con l'asse delle :
Analogamente per le cariche lontane:
Quindi il valore del campo esatto, nella sola
direzione , vale:
Assunto come origine il centro delle due cariche e la loro
congiungente come asse delle , mentre la perpendicolare sul piano è
l'asse delle :
è in , è in , mentre il punto
è in (). Quindi la distanza dalla carica negativa vale:
Mentre da quella positiva:
Il campo esatto per le componenti x vale:
Il campo approssimato per le componenti y vale:
Mentre quello approssimato:
Quindi:
Essendo:
per cui:
Quindi il rapporto vale:
Quindi le componenti esatte sono diverse da quelle approssimate, ma il modulo del campo elettrico è molto simile.
Assunta come origine il centro della spira e asse delle l'asse della spira.
Il campo elettrico generato dal generico elemento di circonferenza vale in modulo:
Dove:
Interessa calcolare solo la componente di . Infatti per ogni elemento esiste un altro elemento, diametralmente opposto, che genera una componente normale all'asse uguale ed opposta a quella generata dall'elemento considerato.
Detto l'angolo formato dalla congiungente l'elementino con il punto sull'asse e l'asse delle .
Integrando su lungo tutta la circonferenza, e considerando che, fissato , sia , che sono costanti:
Geometricamente è facile mostrare che:
Quindi:
Essendo:
Tale campo vale per :
Inoltre:
Nella figura viene graficato il valore della funzione e della espressione approssimata ottenuta ponendo all'origine una carica
Solo la componente del campo elettrico è diversa da 0, in particolare le due cariche più distanti
(rispetto un punto sull'asse delle positivo) generano un campo:
mentre le più vicine:
Quindi in totale:
Ovviamente tale funzione vale per , mentre per gli altri due casi:
A grande distanza si comporta come un quadripolo il cui campo diminuisce con la quarta potenza della distanza.
Scegliamo un sistema di coordinate sul centro del primo dipolo e con l'asse diretto come l'asse del dipolo. Il campo sull'asse di un dipolo, a grande distanza dal centro, vale:
Quindi la derivata:
Mentre se il secondo è ortogonale alla direzione immutata del primo.
Il primo genera il campo calcolato prima che quindi produce un momento sull'altro pari a:
Il campo generato dal piano lungo l'asse del foro si calcola usando il principio di sovrapposizione, infatti per quanto riguarda il piano, assunto come , l'asse verticale:
Se chiamiamo la distanza generica di un elemento infinitesimo delle sbarrette dall'origine. Il campo generato, da un tratto infinitesimo della prima barretta sull'asse delle al centro vale:
Quindi genera al centro in totale:
Al centro l'altra sbarretta genera lo stesso campo in intensità e verso per cui:
In un punto generico dell'asse delle x per : La prima sbarretta genera un campo:
Il campo elettrico in modulo generato da un elemento dl vale:
Quindi nel caso di :
mentre per quanto riguarda il dipolo equivalente, basta prendere due tratti infinitesimi simmetrici opposti rispetto all'asse delle , che distano con una carica :
Ed integrare su metà della circonferenza:
Avendo sostituita l'espressione dell'integrale:
Si poteva ottenere lo stesso risultato calcolando a grande distanza sull'asse.
Il campo generato dal piano sulla verticale si calcola usando il principio di sovrapposizione: un piano infinito con densità ed una striscia carica con densità . Per quanto riguarda il piano, assunto come , l'asse verticale:
Mentre, per quanto riguarda una striscia di larghezza e densità di carica , è equivalente al campo generato da un insieme di fili a distanza , per ciascuno dei quali:
La componente lungo l'asse delle di tale campo è l'unica che non si annulla per ragioni di simmetria quindi:
a)
Il campo elettrico generato nel punto dalla carica è diretto secondo la diagonale e vale:
quello generato dalle cariche poste sugli altri due spigoli valgono:
Le componenti nella direzione perpendicolare alla diagonale si annullano e rimane solo la componente lungo la diagonale
(opposta a quella della carica )
Quindi in totale:
Quindi dalla equazione di Newton l'accelerazione vale:
b)
Il potenziale nel punto (rispetto all'infinito) vale :
(il primo termine dovuto alla cariche , l'altro dovuto alla carica )
Il potenziale nel punto (rispetto all'infinito) vale :
Quindi la differenza di potenziale tra e
vale:
Quindi:
22. Due cariche sui vertici di un triangolomodifica
Definendo con l'angolo tra l'asse della semisfera e il generico anello in cui possiamo dividere la superficie. Il generico
anello ha un raggio e dista dal centro della semisfera .
Quindi il generico anello ha una carica:
Un anello carico genera su un punto a distanza un campo:
Quindi in questo caso il generico anello infinitesimo: